Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de
, de cada uma das seguintes porções de curvas.
, de
a
.
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo
, a curva
de
a
.
Conteúdo: superfície de revolução de em torno do eixo
. Fórmula principal:
Conteúdo: superfície de revolução de
Passo 2
Expressamos
e sua derivada. Da equação
vem
Logo
Substituindo na fórmula de
:
Passo 3
Para simplificar o integrando, fazemos
, logo
,
.
Quando vai de
a
,
vai de
a
.
Então
Quando
Então
Portanto
Passo 4
Calculamos a primitiva
por partes. Tomamos
.\
Então e
Então
Logo, por integração por partes,
A integral
pode ser obtida por fórmula ou nova substituição; o resultado completo simplifica para
Passo 5
Avaliaremos
de
a
. Note que para
temos
, e
Então
Em
,
. Logo
Passo 6
Voltando a
:
Colocando em denominador comum
:
logo