Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, de cada uma das seguintes porções de curvas.
6 y=x^{2}, de x=0 a x=4. \frac{(820-81 \ln 3) \pi}{72}.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo OX, a curva
6y = x^2,
de x=0 a x=4.
Conteúdo: superfície de revolução de y=f(x) em torno do eixo x. Fórmula principal:
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Expressamos y e sua derivada. Da equação 6y=x^2 vem
y = \frac{x^2}{6}, \quad y' = \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^2}{6}\Bigr) = \frac{x}{3}.
Logo
\sqrt{1+(y')^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{9}} = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{3}.
Substituindo na fórmula de S:
S = 2\pi \int_{0}^{4} \frac{x^2}{6}\,\frac{\sqrt{9+x^2}}{3}\,dx = \frac{\pi}{3}\int_{0}^{4} x^2\sqrt{1+\frac{x^2}{9}}\,dx.

Passo 3

Para simplificar o integrando, fazemos t = \frac{x}{3}, logo x = 3t, dx = 3\,dt.
Quando x vai de 0 a 4, t vai de 0 a \tfrac{4}{3}.
Então
\int_{0}^{4} x^2\sqrt{1+\frac{x^2}{9}}\,dx = \int_{0}^{4/3} (9t^2)\sqrt{1+t^2}\,(3\,dt) = 27\int_{0}^{4/3} t^2\sqrt{1+t^2}\,dt.
Portanto
S = \frac{\pi}{3}\cdot 27\int_{0}^{4/3} t^2\sqrt{1+t^2}\,dt = 9\pi \int_{0}^{4/3} t^2\sqrt{1+t^2}\,dt.

Passo 4

Calculamos a primitiva
J = \int t^2\sqrt{1+t^2}\,dt
por partes. Tomamos \;u = t,\; dv = t\sqrt{1+t^2}\,dt.\
Então du=dt e
v = \int t\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{(1+t^2)^{3/2}}{3}.
Logo, por integração por partes,
J = t\frac{(1+t^2)^{3/2}}{3} - \frac{1}{3}\int(1+t^2)^{3/2}\,dt.
A integral \displaystyle \int(1+t^2)^{3/2}dt pode ser obtida por fórmula ou nova substituição; o resultado completo simplifica para
J = \frac{t\sqrt{1+t^2}\,\bigl(1+2t^2\bigr)}{8} - \frac{1}{8}\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^2}\bigr).

Passo 5

Avaliaremos J de 0 a \tfrac{4}{3}. Note que para t=\tfrac{4}{3} temos \sqrt{1+t^2}=\tfrac{5}{3}, e
t\sqrt{1+t^2} = \frac{4}{3}\cdot\frac{5}{3} = \frac{20}{9}, \quad 1+2t^2 = 1 + 2\cdot\frac{16}{9} = \frac{41}{9}.
Então
J\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr) = \frac{\tfrac{20}{9}\cdot\tfrac{41}{9}}{8} - \frac{1}{8}\ln\! \Bigl(\tfrac{4}{3}+\tfrac{5}{3}\Bigr) = \frac{820}{648} - \frac{1}{8}\ln(3) = \frac{205}{162} - \frac{1}{8}\ln(3).
Em t=0, J(0)=0. Logo
\int_{0}^{4/3} t^2\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{205}{162} - \frac{1}{8}\ln(3).

Passo 6

Voltando a S:
S = 9\pi\biggl(\frac{205}{162} - \frac{1}{8}\ln(3)\biggr) = \frac{1845}{162}\pi - \frac{9}{8}\pi\ln(3).
Colocando em denominador comum 72:
\frac{1845}{162} = \frac{820}{72}, \quad \frac{9}{8} = \frac{81}{72},
logo
S = \frac{820\pi}{72} - \frac{81\pi}{72}\ln(3) = \frac{(820 - 81\ln 3)\,\pi}{72}.

Resposta

\boxed{S = \frac{(820 - 81\ln 3)\,\pi}{72}.}

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