Achar a derivada de cada uma das funções:
arctg log tg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=arctanl(ln(tan x)r)
O conteúdo envolvido é a derivação de função composta (regra da cadeia), além da derivada de arctan(u), da função logarítmica natural e da tangente.

Passo 2

Defina a função interna
u(x)=lnl(tan xr)
Para derivá-la, use que ddxln(v)=v'v e que ddxtan x=sec^2 x. Logo,
u'(x) =sec^2 xtan x

Passo 3

Agora aplique a regra da cadeia para
f(x)=arctanl(u(x)r), sabendo que
dduarctan(u)=11+u^2.
Assim,
f'(x) =u'(x)1+l(u(x)r)^2 =sec^2 xtan x1+l(ln(tan x)r)^2

Passo 4

Basta observar que
sec^2 xtan x =1/cos^2 xsin x/cos x =1sin xcos x
Substituindo em f'(x), fica
f'(x) =1l(1+(ln(tan x))^2r),sin xcos x

Resposta

f'(x) =1l(1+(ln(tan x))^2r),sin xcos x

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