Achar a derivada de enésima ordem da função y=e^{-9 x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de enésima ordem da função
y = e^{-9x}.
O conteúdo aqui é a derivação de funções exponenciais do tipo e^{ax}, cuja regra diz que
\frac{d}{dx}e^{ax} = a\,e^{ax}.
Para achar a derivada de ordem n, vamos calcular as primeiras derivadas, identificar um padrão e depois generalizar por indução.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas e ver o que acontece:
y = e^{-9x},
y' = \frac{d}{dx}e^{-9x} = -9\,e^{-9x},
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(-9\,e^{-9x}\bigr) = (-9)^2\,e^{-9x},
y''' = \frac{d}{dx}\bigl((-9)^2\,e^{-9x}\bigr) = (-9)^3\,e^{-9x}.
A cada diferenciação, multiplicamos por -9 sem alterar a parte exponencial.

Passo 3

Pelo princípio da indução, suponha que a derivada de ordem n seja
y^{(n)} = (-9)^n\,e^{-9x}.
Então a derivada de ordem n+1 é
y^{(n+1)} = \frac{d}{dx}\bigl((-9)^n\,e^{-9x}\bigr) = (-9)^n\cdot(-9)\,e^{-9x} = (-9)^{n+1}\,e^{-9x}.
Como isso vale para n=0 (já que y^{(0)}=y), a fórmula está provada para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

y^{(n)} = (-9)^n\,e^{-9x}.

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