Achar a derivada de enésima ordem da função
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de enésima ordem da função
O conteúdo aqui é a derivação de funções exponenciais do tipo
, cuja regra diz que
Para achar a derivada de ordem
, vamos calcular as primeiras derivadas, identificar um padrão e depois generalizar por indução.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas e ver o que acontece:
A cada diferenciação, multiplicamos por
sem alterar a parte exponencial.
Passo 3
Pelo princípio da indução, suponha que a derivada de ordem
seja
Então a derivada de ordem
é
Como isso vale para
(já que
), a fórmula está provada para todo
.