Achar a derivada de enésima ordem da função
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de enésima ordem de
. O conteúdo aqui é derivação sucessiva e vamos precisar usar padrão de potências de
e prova por indução para generalizar.
Passo 2
Calculamos as primeiras derivadas para identificar o padrão:
Passo 3
Observando os coeficientes vemos que
Logo conjecturamos
Passo 4
Vamos provar por indução em
.
Base :
Base
ok.
Passo indutivo: suponha que
Passo indutivo: suponha que
Então
que é a fórmula para
. Assim o padrão vale para todo
.