Achar a derivada de enésima ordem da função y=\ln (a x+b).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de enésima ordem de y=\ln(ax+b). O conteúdo aqui é derivação sucessiva e vamos precisar usar padrão de potências de (ax+b) e prova por indução para generalizar.

Passo 2

Calculamos as primeiras derivadas para identificar o padrão:
y'=\frac{d}{dx}\ln(ax+b)=\frac{a}{ax+b},
y''=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{a}{ax+b}\Bigr) =-\frac{a^2}{(ax+b)^2},
y'''=\frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{a^2}{(ax+b)^2}\Bigr) =2\,\frac{a^3}{(ax+b)^3}.

Passo 3

Observando os coeficientes vemos que
y'=\;(+1)\,0!\,\frac{a^1}{(ax+b)^1},\quad y''=\;(-1)\,1!\,\frac{a^2}{(ax+b)^2},\quad y'''=\;(+1)\,2!\,\frac{a^3}{(ax+b)^3}.
Logo conjecturamos
y^{(n)} = (-1)^{\,n-1}(n-1)!\,\frac{a^n}{(ax+b)^n}.

Passo 4

Vamos provar por indução em n.
Base n=1:
y' = \frac{a}{ax+b} = (-1)^{0}0!\,\frac{a^1}{(ax+b)^1},
ok.
Passo indutivo: suponha que
y^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!\,\frac{a^n}{(ax+b)^n}.
Então
y^{(n+1)} = \frac{d}{dx}y^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!\,a^n\, \frac{d}{dx}\bigl[(ax+b)^{-n}\bigr]
= (-1)^{n-1}(n-1)!\,a^n\, \bigl(-n\,a\bigr)\,(ax+b)^{-n-1} = (-1)^{n}n!\,\frac{a^{n+1}}{(ax+b)^{n+1}},
que é a fórmula para n+1. Assim o padrão vale para todo n.

Resposta

y^{(n)} = (-1)^{\,n-1}(n-1)!\,\frac{a^n}{(ax+b)^n}.

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