Achar f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0) e f^{\prime \prime \prime}(0), se
f(x)=\mathrm{e}^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede f(0), f'(0), f''(0) e f'''(0) para a função
f(x)=e^x\sin x.
O conteúdo envolve derivadas de produto, mais especificamente aplicar repetidamente a regra do produto e usar que \frac{d}{dx}e^x=e^x, \frac{d}{dx}\sin x=\cos x e \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Passo 2

Para obter f(0), basta substituir x=0:
f(0)=e^0\sin(0)=1\cdot0=0.

Passo 3

Usando a regra do produto,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^x\sin x\bigr) =e^x\sin x+e^x\cos x =e^x\bigl(\sin x+\cos x\bigr).
Logo,
f'(0)=e^0\bigl(\sin0+\cos0\bigr)=1\cdot(0+1)=1.

Passo 4

Para f''(x), derivamos f'(x)=e^x(\sin x+\cos x):
f''(x)=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x) =e^x\bigl(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x\bigr) =2e^x\cos x.
Portanto,
f''(0)=2e^0\cos0=2\cdot1\cdot1=2.

Passo 5

Para f'''(x), derivamos f''(x)=2e^x\cos x:
f'''(x)=2\bigl(e^x\cos x+e^x(-\sin x)\bigr) =2e^x(\cos x-\sin x).
Assim,
f'''(0)=2e^0(\cos0-\sin0)=2\cdot1\cdot(1-0)=2.

Resposta

f(0)=0 f'(0)=1 f''(0)=2 f'''(0)=2

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