Achar a derivada de enésima ordem da função y=\frac{1}{1+x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de enésima ordem da função
y = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas sucessivas de uma função potência. Vamos usar a regra
\frac{d}{dx}\bigl(1+x\bigr)^{m} = m\,(1+x)^{m-1}
com m=-1 e observar o padrão ao derivar várias vezes.

Passo 2

Calculemos as primeiras derivadas para ver o padrão:
y = (1+x)^{-1},
y' = -1\,(1+x)^{-2},
y'' = \frac{d}{dx}\bigl[-1\,(1+x)^{-2}\bigr] = -1\cdot(-2)\,(1+x)^{-3} = 2!\,(1+x)^{-3},
y^{(3)} = \frac{d}{dx}\bigl[2!\,(1+x)^{-3}\bigr] = 2!\cdot(-3)\,(1+x)^{-4} = -6\,(1+x)^{-4} = (-1)^3\,3!\,(1+x)^{-4}.
Vemos que a cada derivada multiplicamos pelos próximos inteiros negativos e o expoente decai em 1, gerando fatores (-1)^n e n!.

Passo 3

Generalizando, ao derivar n vezes obtemos o produto dos n primeiros números inteiros negativos vezes (1+x)^{-1-n}:
y^{(n)} = (-1)\,(-2)\,\cdots\,(-n)\,(1+x)^{-1-n} = (-1)^n\,n!\,(1+x)^{-n-1}.
Opcionalmente, isso também pode ser provado por indução, pois ao derivar a expressão do passo anterior sempre surge o fator -(n+1).

Resposta

y^{(n)} = (-1)^n\,n!\,(1+x)^{-\,n-1}.

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