Achar a derivada de enésima ordem da função
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de enésima ordem da função
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas sucessivas de uma função potência. Vamos usar a regra
com
e observar o padrão ao derivar várias vezes.
Passo 2
Calculemos as primeiras derivadas para ver o padrão:
Vemos que a cada derivada multiplicamos pelos próximos inteiros negativos e o expoente decai em 1, gerando fatores
e
.
Passo 3
Generalizando, ao derivar
vezes obtemos o produto dos
primeiros números inteiros negativos vezes
:
Opcionalmente, isso também pode ser provado por indução, pois ao derivar a expressão do passo anterior sempre surge o fator
.