Achar a derivada de enésima ordem da função y=\frac{1+x}{1-x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de enésima ordem da função
y = \frac{1+x}{1-x}.
O conteúdo envolvido é derivação de potências e aplicação da regra da cadeia para funções do tipo (1-x)^{m}. Vamos usar uma forma equivalente de y que facilite a derivação.

Passo 2

Escrevemos
\frac{1+x}{1-x} = -1 + \frac{2}{1-x},
pois
-1 + \frac{2}{1-x} = \frac{- (1-x) + 2}{1-x} = \frac{-1 + x + 2}{1-x} = \frac{1 + x}{1-x}.
Logo
y = -1 + 2\,(1-x)^{-1}.

Passo 3

A derivada de ordem n de y será
y^{(n)} = \frac{d^n}{dx^n}\bigl[-1 + 2\,(1-x)^{-1}\bigr] = 0 + 2\,\frac{d^n}{dx^n}(1-x)^{-1}.
Agora falta calcular \frac{d^n}{dx^n}(1-x)^{-1}.

Passo 4

Para \varphi(x) = (1-x)^{-1}, usamos a regra geral
\frac{d^n}{dx^n}(1-x)^{m} = m\,(m-1)\cdots(m-n+1)\;(-1)^n\,(1-x)^{m-n},
com m=-1. Então
(-1)(-2)\cdots(-n)\;(-1)^n\;(1-x)^{-1-n} = (-1)^n\,n!\;(-1)^n\;(1-x)^{-1-n} = n!\,(1-x)^{-1-n}.

Passo 5

Multiplicando por 2 do Passo 3, obtemos
y^{(n)} = 2\,n!\,(1-x)^{-1-n}.

Resposta

y^{(n)}(x) = \frac{2\,n!}{(1 - x)^{\,n+1}}.

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