Achar a n^a derivada de
raiz[p]x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
f(x)=raiz[p]x=x^1/p,
com p fixo e ninN. Vamos usar a regra geral de derivação de potências, que nos diz como obter a n-ésima derivada de x^m.

Passo 2

Recordando a fórmula para a derivada de ordem n de uma potência: se
g(x)=x^m,
então
g^(n)(x)=m,(m-1),(m-2)cdotsl(m-(n-1)r);x^m-n
ou, em notação de produto,
g^(n)(x)=prodk=0^n-1(m-k);x^,m-n
Isso se obtém por indução simples usando que ddxx^m=m,x^m-1.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, onde m=1/p, obtemos
f^(n)(x) =prodk=0^n-1l(tfrac1p-kr);x^,1p-n
Opcionalmente podemos reescrever o produto em termos de fatoriais generalizados (Gamma), mas a expressão acima é a forma mais direta.

Resposta

boxedf^(n)(x) =prodk=0^n-1l(tfrac1p-kr);x^1p-n

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