Achar a n^a derivada de
sen n x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
f(x)=sin(n x),
onde o parâmetro dentro do seno e a ordem da derivada coincidem no mesmo inteiro n. O conteúdo principal aqui é a derivação sucessiva de funções trigonométricas e a observação do padrão de fator n e de mudança de fase de tfracpi2 a cada derivada.

Passo 2

Começamos listando as primeiras derivadas e vendo o padrão:
f'(x)=ddxsin(n x)=ncos(n x),
f''(x)=ddxl(ncos(n x)r)=-n^2sin(n x),
f'''(x)=ddxl(-n^2sin(n x)r)=-n^3cos(n x),
f^(4)(x)=ddxl(-n^3cos(n x)r)=n^4sin(n x)
Repare que a cada derivação multiplica-se por n e há um avanço de fase de tfracpi2.

Passo 3

Do padrão acima, a derivada de ordem genérica k é
f^(k)(x)=n^ksin!l(n x + ktfracpi2r)
Isso decorre de que ao derivar sin(n x + phi) obtemos nsinl(n x + phi + tfracpi2r).

Passo 4

Bast a agora escolher k=n para obter a derivada de ordem n:
f^(n)(x)=n^nsin!l(n x + ntfracpi2r)

Resposta

f^(n)(x)=n^nsin!l(n x + npi2r)

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