Achar os extremos das funções:
y=-x^4+2 x^2. Resp. y max =1 para x= pm 1, y min =0 para x=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função
y = -x^4 + 2x^2
Esse é um problema de cálculo de extremos que usamos derivada primeira para encontrar pontos críticos e derivada segunda para classificá-los (máximo ou mínimo).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar os pontos críticos. A derivada é
y' = dydx = -4x^3 + 4x = 4x,(1 - x^2)
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos y'=0, ou seja,
4x,(1 - x^2) = 0
que dá as soluções
x = 0, x^2 = 1;Rightarrow;x = pm 1

Passo 3

Para classificar cada ponto, usamos a derivada segunda:
y'' = d^2ydx^2 = ddxl(-4x^3 + 4xr) = -12x^2 + 4 = 4,(1 - 3x^2)
Avaliando em cada ponto crítico:
  • Em x=0:
y''(0)=4(1-0)=4>0Rightarrow;mínimo local í
  • Em x=pm1:
y''(pm1)=4(1-3)=4(-2)=-8<0Rightarrow;máximo local á

Passo 4

Calculamos agora o valor de y nesses pontos:
  • Em x=0:
y(0) = -0^4 + 2cdot0^2 = 0
  • Em x=pm1:
y(pm1) = -(pm1)^4 + 2cdot(pm1)^2 = -1 + 2 = 1

Resposta

ymax=1 em x=pm1 ymin=0 em x=0

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