Achar os extremos das funções:
y=3-2(x+1)^13. Resp. Não há extremos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
y = 3 - 2,(x+1)^tfrac13
Como em cálculo usamos derivadas para identificar máximos e mínimos locais, vamos calcular y', achar os pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existe) e fazer o estudo do sinal de y' ao redor desses pontos.

Passo 2

Derivamos a função. Lembrando que
ddx(x+1)^tfrac13 = tfrac13(x+1)^-tfrac23,
temos
y' = ddxl[3 - 2,(x+1)^tfrac13r] = -2 cdot tfrac13(x+1)^-tfrac23 = -tfrac23,(x+1)^-tfrac23

Passo 3

Os pontos críticos são dados por
  1. y'=0. Como (x+1)^-tfrac23>0 sempre que definido, -tfrac23(x+1)^-tfrac23 nunca é zero.
  2. y' não existe. O expoente -tfrac23 gera indefinição em x+1=0, ou seja, em x=-1. Logo, o único ponto crítico é x=-1.

Passo 4

Fazemos o estudo de sinal de y' em cada intervalo criado por x=-1:
  • Para x<-1, temos x+1<0, mas (x+1)^-tfrac23 permanece positivo (pela paridade do denominador), logo y'=-tfrac23(x+1)^-tfrac23<0.
  • Para x>-1, também x+1>0 traz (x+1)^-tfrac23>0 e, portanto, y'<0.
    Em ambos os lados de x=-1, a derivada é negativa, indicando que a função é estritamente decrescente antes e depois de x=-1.

Passo 5

Como a função é decrescente em todo domínio (sem trocar de sinal da derivada) e o ponto x=-1 não produz inversão de monotonicidade, não há nem máximo nem mínimo local.

Resposta

Não há extremos.

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