Achar os extremos das funções:
y=2-(x-1)^23. Resp. y max =2 para x=1.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função
y = 2 - (x-1)^tfrac23
O conteúdo envolve estudo de extremos usando derivada e análise de monotonicidade. Vamos precisar:
  1. Determinar o domínio e a forma de (x-1)^2/3 no real.
  2. Calcular a derivada y' e encontrar pontos críticos.
  3. Analisar o sinal de y' para saber onde a função cresce ou decresce.

Passo 2

Primeiro notamos que, para todo xinR, existe a raiz cúbica real de x-1, e ao elevar ao quadrado temos
(x-1)^tfrac23 = l((x-1)^1/3r)^2 = |x-1|^tfrac23
Logo o domínio é R e
y = 2 - |x-1|^tfrac23

Passo 3

Vamos à derivada. Para xneq1, usando a regra da cadeia em (x-1)^2/3:
y' = -23(x-1)^-tfrac13 = -23,1(x-1)^1/3
Observe que em x=1 a derivada não existe (é singular), então x=1 é ponto crítico.

Passo 4

Analisamos o sinal de y':
  • Para x>1, temos (x-1)^1/3>0, logo y'<0. A função decresce em (1,infty).
  • Para x<1, temos (x-1)^1/3<0, logo y'>0. A função cresce em (-infty,1).
Como a função cresce antes de x=1 e decresce depois, x=1 é um ponto de máximo.

Resposta

O único extremo é um máximo em
x=1, ymax = 2
Não há mínimo (à medida que |x|toinfty, yto -infty).

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