Achar f^{\prime \prime \prime}(3), se f(x)=(2 x-3)^{5}.

Passo 1

O enunciado pede para achar \,f^{\prime\prime\prime}(3) sabendo que f(x)=(2x-3)^{5}. O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para derivar potências compostas e, em seguida, avaliar a terceira derivada em x=3.

Passo 2

Para obter f'(x) aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=(u(x))^{5} com u(x)=2x-3 e u'(x)=2, então
f'(x)=5\,(u(x))^{4}\,u'(x) =5\,(2x-3)^{4}\cdot2 =10\,(2x-3)^{4}.

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez para achar f''(x). Como f'(x)=10\,(2x-3)^{4}, temos
f''(x)=10\cdot4\,(2x-3)^{3}\cdot2 =80\,(2x-3)^{3}.

Passo 4

Derivando pela terceira vez, de f''(x)=80\,(2x-3)^{3}, obtemos
f^{\prime\prime\prime}(x) =80\cdot3\,(2x-3)^{2}\cdot2 =480\,(2x-3)^{2}.

Passo 5

Para avaliar em x=3, calculamos 2\cdot3-3=3. Logo,
f^{\prime\prime\prime}(3) =480\,(3)^{2} =480\cdot9 =4320.

Resposta

f^{\prime\prime\prime}(3)=4320

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