Achar o valor médio da função dada no intervalo indicado:
f(x)=sen^2 x, 0 <=q x <=q pi2;

Passo 1

Resumindo, precisamos encontrar o valor médio de f(x)=sin^2x no intervalo l[0,tfracpi2r]. A definição de valor médio de uma função em [a,b] é
1b-aintegrala^bf(x),dx
e vamos usar a identidade trigonométrica
sin^2x = 1-cos(2x)2

Passo 2

Substituindo a identidade em sin^2x, temos
integral0^pi2sin^2x,dx = integral0^pi21-cos(2x)2,dx = 12integral0^pi21,dx - 12integral0^pi2cos(2x),dx
As primitivas são
integral 1,dx = x
integral cos(2x),dx = 12sin(2x)
Portanto,
integral0^pi2sin^2x,dx = 12l[xr]0^pi2 - 12cdot12l[sin(2x)r]0^pi2 = 12cdotpi2 - 14(0-0) = pi4

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do valor médio:
bar f = 1pi2-0 integral0^pi2sin^2x,dx = 1pi2cdotpi4 = 2picdotpi4 = 12

Resposta

12

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