Ache a diferencial total d w.
w=4 x^{3}-x y^{2}+3 y-7

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de w(x,y)=4x^{3}-xy^{2}+3y-7. Isso envolve calcular as derivadas parciais \partial w/\partial x e \partial w/\partial y e usar a definição de diferencial total para funções de duas variáveis:
d w = \frac{\partial w}{\partial x}\,d x + \frac{\partial w}{\partial y}\,d y.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de w em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{3}\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}(7).
Como \frac{\partial}{\partial x}(4x^{3})=12x^{2}, \frac{\partial}{\partial x}(xy^{2})=y^{2} e as outras derivadas são zero, temos
\frac{\partial w}{\partial x} = 12x^{2} - y^{2}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de w em relação a y, tratando x como constante:
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}(7).
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(xy^{2})=2xy e \frac{\partial}{\partial y}(3y)=3, as outras são zero, logo
\frac{\partial w}{\partial y} = -2xy + 3.

Passo 4

Usando a definição de diferencial total,
d w = \frac{\partial w}{\partial x}\,d x + \frac{\partial w}{\partial y}\,d y,
substituímos as derivadas parciais obtidas:
d w = \bigl(12x^{2} - y^{2}\bigr)\,d x + \bigl(-2xy + 3\bigr)\,d y.

Resposta

d w = \bigl(12x^{2} - y^{2}\bigr)\,d x + \bigl(-2xy + 3\bigr)\,d y.

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