.84. Ache dois números naturais conhecendo seu mdc 12 e seu mmc 240 .
Resolução: Sejam a e b os números. Então 12 cdot 240=a b, éem virtude da proposiçāo 4. Daí a12 cdot b12=20, e como mdc (a12, b12)=1, então a12=1 e b12=20, ou a12=4 e b12=5. As possíveis soluçōes sāo, portanto: 12 e 240 ou 48 e 60.

Passo 1

O enunciado pede dois números naturais a e b tais que
mdc(a,b)=12 e mmc(a,b)=240.
Vamos usar a propriedade clássica de números inteiros:
mdc(a,b),cdot,mmc(a,b);=;a,b

Passo 2

Aplicando essa propriedade temos
12 times 240 ;=; a,b
ou seja
a,b = 2880

Passo 3

Como mdc(a,b)=12, podemos escrever
a = 12x, b = 12y
com mdc(x,y)=1. Substituindo em a,b=2880
(12x),(12y) = 2880 Longrightarrow 144,x,y = 2880 Longrightarrow x,y = 20

Passo 4

Precisamos achar pares de inteiros positivos (x,y) tais que
x,y = 20 e mdc(x,y)=1
Os divisores de 20 são 1,2,4,5,10,20. Os pares com produto 20 e coprimos entre si são
(x,y) = (1,20)e(x,y)=(4,5),
além das permutações (20,1) e (5,4).

Passo 5

Voltando a a=12x e b=12y:
  • Para (x,y)=(1,20) obtemos a=12 e b=240.
  • Para (x,y)=(4,5) obtemos a=48 e b=60.
    (As permutações trocam apenas a ordem dos números.)

Resposta

As duas soluções, salvo ordem, são
12 e 240
48 e 60

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