Prove que o produto de quatro números naturais consecutivos, acrescido de 1 , é um quadrado perfeito.
Resolução: Se a indica o menor dos números, então os outros são a+1, a+2 e a +3 .
Como
a(a+1)(a+2)(a+3)=a^4+6 a^3+11 a^2+6 a
deve-se procurar m in I N de modo que:
a^4+6 a^3+11 a^2+6 a+1=(a^2+m a+1)^2
Desenvolvendo o segundo membro e identificando o resultado com o primeiro, obtém-se m=3. Logo:
1+a(a+1)(a+2)(a+3)=(a^2+3 a+1)^2
Por exemplo, se a=4, então:
1+4 cdot 5 cdot 6 cdot 7=(4^2+12+1)^2=29^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo natural a, o número
1 + a(a+1)(a+2)(a+3)
é um quadrado perfeito. Vamos usar operações sobre polinômios e comparação de coeficientes para encontrar uma forma quadrada que seja igual a esse produto acrescido de 1.

Passo 2

Denotemos
P = a(a+1)(a+2)(a+3)
Para ver o comportamento de P, expandimos passo a passo o produto em polinômio de a.

Passo 3

Expandindo P obtemos
P = a(a+1)(a+2)(a+3) = l(a^2+3ar)l(a^2+3a+2r) = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a

Passo 4

Procuramos um inteiro m tal que
P + 1 = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a + 1
seja igual ao quadrado de um polinômio do tipo l(a^2 + m,a + 1r)^2. Expandindo esse quadrado:
l(a^2 + m,a +1r)^2 = a^4 + 2m,a^3 + (m^2+2),a^2 + 2m,a +1
Comparando coeficientes com a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a + 1, exige-se
2m = 6, m^2+2 = 11, 2m = 6
De 2m=6 segue m=3, que satisfaz também 3^2+2=11.

Passo 5

Concluímos que
1 + a(a+1)(a+2)(a+3) = l(a^2 + 3a +1r)^2
Assim, o produto de quatro naturais consecutivos acrescido de 1 é sempre um quadrado perfeito.

Resposta

1 + a(a+1)(a+2)(a+3) = l(a^2 + 3a +1r)^2

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