Prove que o produto de quatro números naturais consecutivos, acrescido de 1 , é um quadrado perfeito.
Resolução: Se a indica o menor dos números, então os outros são
e a +3 .
Como
deve-se procurar
de modo que:
Desenvolvendo o segundo membro e identificando o resultado com o primeiro, obtém-se
. Logo:
Por exemplo, se
, então:
Como
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo natural
, o número
é um quadrado perfeito. Vamos usar operações sobre polinômios e comparação de coeficientes para encontrar uma forma quadrada que seja igual a esse produto acrescido de 1.
Passo 2
Denotemos
Para ver o comportamento de
, expandimos passo a passo o produto em polinômio de
.
Passo 3
Expandindo
obtemos
Passo 4
Procuramos um inteiro
tal que
seja igual ao quadrado de um polinômio do tipo
. Expandindo esse quadrado:
Comparando coeficientes com
, exige-se
De
segue
, que satisfaz também
.
Passo 5
Concluímos que
Assim, o produto de quatro naturais consecutivos acrescido de 1 é sempre um quadrado perfeito.