Ache o expoente de 5 na decomposição de 100! em fatores primos.
Resolusão de a): Os fatores de 100!=100 cdot 99 cdot ldots 2 cdot 1 em que o 5 figura sāo 5,10,15, ldots, 95,100 (vinte fatores). Observemos que: 5 cdot 10 cdot 15 ldots 95 cdot 100=5^20 cdot(1 cdot 2 cdot 3 ldots 19 cdot 20). No producto en-
tre parênteses o 5 figura nos fatores 5,10,15 e 20. Como 5 cdot 10 cdot 15 cdot 20=5^4 cdot(1 cdot 2 cdot 3 cdot 4), então o expoente de 5 no fatorial 100! é 20+4=24.

Passo 1

O enunciado pede o expoente de 5 na fatoração prima de 100!. Aqui o conteúdo é contagem de multiplicidade de um primo em um fatorial, e vamos usar a fórmula de Legendre, que diz como somar as contribuições de cada potência de 5 até ultrapassar 100.

Passo 2

A fórmula de Legendre para o expoente de um primo p em n! é
sumk=1^inftylfloor np^krfloor,
onde lfloor xrfloor é a parte inteira de x. No nosso caso, n=100 e p=5.

Passo 3

Vamos computar cada termo até 5^k>100:
lfloor 1005rfloor = 20,
lfloor 1005^2rfloor = lfloor 10025rfloor = 4,
lfloor 1005^3rfloor = lfloor 100125rfloor = 0

Passo 4

Somamos as contribuições:
20 + 4 + 0 = 24

Resposta

O expoente de 5 em 100! é 24.

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