Use sistemas de restos convenientes para provar que:
Para todo inteiro a, a^3 equiv 0,1 ou 8(bmod 9).

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para todo inteiro a, o cubo a^3 deixa resto apenas 0, 1 ou 8 na divisão por 9. O conteúdo usado será análise em classes de restos módulo 3, e desenvolvimento de binômio de Newton para cada caso.

Passo 2

Suponha que
aequiv 0pmod3
Então escrevemos a=3k para algum inteiro k. Assim
a^3=(3k)^3=27,k^3=9,(3k^3),
logo a^3equiv 0pmod9.

Passo 3

Suponha que
aequiv 1pmod3
Então a=3k+1 para algum inteiro k. Pelo binômio de Newton,
a^3=(3k+1)^3=27k^3+27k^2+9k+1 =9,(3k^3+3k^2+k)+1,
portanto
a^3equiv 1pmod9

Passo 4

Suponha que
aequiv 2pmod3
Então a=3k+2. Novamente pelo binômio:
a^3=(3k+2)^3=27k^3+54k^2+36k+8 =9,(3k^3+6k^2+4k)+8,
logo
a^3equiv 8pmod9

Passo 5

Como todo inteiro a cai exatamente em uma das três classes 0,1,2 módulo 3, cobrimos todos os casos. Concluímos que sempre
a^3equiv 0,;1 ou 8pmod9

Resposta

Os únicos resíduos possíveis de a^3 módulo 9 são 0, 1 e 8.

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