Use sistemas de restos convenientes para provar que:
Para todo inteiro
ou
.
Para todo inteiro
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para todo inteiro
, o cubo
deixa resto apenas
,
ou
na divisão por
. O conteúdo usado será análise em classes de restos módulo
, e desenvolvimento de binômio de Newton para cada caso.
Passo 2
Suponha que
Então escrevemos
para algum inteiro
. Assim
logo
.
Passo 3
Suponha que
Então
para algum inteiro
. Pelo binômio de Newton,
portanto
Passo 4
Suponha que
Então
. Novamente pelo binômio:
logo
Passo 5
Como todo inteiro
cai exatamente em uma das três classes
módulo 3, cobrimos todos os casos. Concluímos que sempre
Resposta
Os únicos resíduos possíveis de
módulo
são
,
e
.