Ache o menor inteiro a>2 tal que: 2|a, 3|(a+1), 4 mid(a+2) e 5 mid(a+3).
Resolução: O problema pode ser equacionado mediante o sistema:
a equiv 0(bmod 2), a equiv 2(bmod 3), a equiv 2(bmod 4) e a equiv 2(bmod 5)
que, pelo corolário da proposição 15, admite soluçōes. Da primeira congruência sai a=2 r. Substituindo na segunda: 2 r equiv 2(bmod 3); donde r=1+3 s e entāo a=2+6 s. Passando à terceira congruência: 2+6 s equiv 2(bmod 4) Longrightarrow 3 s equiv 0(bmod 2) ; daí s=2 t e então a=2+12 t. Finalmente: 2+12 t equiv 2(bmod 5) Long<=ftrightarrow 12 t equiv 0 (bmod 5) Long<=ftrightarrow t=5 k. Assim, a=2+60 k(k in Z) e a resposta é 62.

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro a>2 tal que
2mid a,;3mid(a+1),;4mid(a+2) e 5mid(a+3).
Isso se traduz em um sistema de congruências e vamos usar ideias do Teorema Chinês dos Restos para encontrar a solução geral e, depois, o menor valor maior que 2.

Passo 2

Traduzimos cada condição em congruência:
2mid a Long<=ftrightarrow aequiv 0pmod2,
3mid(a+1)Long<=ftrightarrow aequiv -1equiv 2pmod3,
4mid(a+2)Long<=ftrightarrow aequiv -2equiv 2pmod4,
5mid(a+3)Long<=ftrightarrow aequiv -3equiv 2pmod5
Repare que aequiv 2pmod4 já implica aequiv 0pmod2, então podemos descartar a primeira congruência.

Passo 3

Ficamos com o sistema
aequiv 2pmod3, aequiv 2pmod4, aequiv 2pmod5
Como os módulos são pares ou primos entre si na combinação que faremos, prosseguimos por substituição.

Passo 4

De aequiv 2pmod4 segue que existe ninZ tal que
a = 4n + 2
Substituindo em aequiv 2pmod3
4n + 2 equiv 2pmod3 Longrightarrow 4n equiv 0pmod3 Longrightarrow n equiv 0pmod3
Logo n = 3m e
a = 4(3m) + 2 = 12m + 2

Passo 5

Agora aplicamos a = 12m + 2 em aequiv 2pmod5:
12m + 2 equiv 2pmod5 Longrightarrow 12m equiv 0pmod5
Como gcd(12,5)=1, concluímos mequiv 0pmod5, ou seja m=5k. Assim a solução geral é
a = 12(5k) + 2 = 60k + 2, kinZ

Passo 6

Queremos o menor a>2. Para k=0 obtém-se a=2, que não satisfaz a>2.
Escolhendo k=1 vem
a = 60cdot1 + 2 = 62

Resposta

62

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