Ache o menor inteiro
tal que:
e
.
Resolução: O problema pode ser equacionado mediante o sistema:
que, pelo corolário da proposição 15, admite soluçōes. Da primeira congruência sai
. Substituindo na segunda:
; donde
e entāo
. Passando à terceira congruência:
daí
e então
. Finalmente:
. Assim,
e a resposta é 62.
Passo 1
O enunciado pede o menor inteiro
tal que
e
.
Isso se traduz em um sistema de congruências e vamos usar ideias do Teorema Chinês dos Restos para encontrar a solução geral e, depois, o menor valor maior que 2.
Isso se traduz em um sistema de congruências e vamos usar ideias do Teorema Chinês dos Restos para encontrar a solução geral e, depois, o menor valor maior que 2.
Passo 2
Traduzimos cada condição em congruência:
Repare que
já implica
, então podemos descartar a primeira congruência.
Passo 3
Ficamos com o sistema
Como os módulos são pares ou primos entre si na combinação que faremos, prosseguimos por substituição.
Passo 4
De
segue que existe
tal que
Substituindo em
dá
Logo
e
Passo 5
Agora aplicamos
em
:
Como
, concluímos
, ou seja
. Assim a solução geral é
Passo 6
Queremos o menor
. Para
obtém-se
, que não satisfaz
.
Escolhendo vem
Escolhendo
Resposta
62