Prove cada uma das seguintes afirmações:
Se a tem ordem hk, módulo
, então
tem ordem
.
Se a tem ordem hk, módulo
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um elemento
invertível módulo
cuja ordem é
. Queremos mostrar que o elemento
tem ordem exatamente
módulo
. Vamos usar a definição de ordem de um elemento num grupo: é o menor inteiro positivo
tal que o elemento elevado a
seja congruente a
módulo
, e também o fato de que, se um elemento elevado a um certo expoente dá
, então a ordem desse elemento divide esse expoente.
Passo 2
Como a ordem de
é
, temos
Isso implica
ou seja, o menor expoente que faz
deve dividir
. Logo a ordem de
é um divisor de
.
Passo 3
Seja
a ordem de
, isto é,
é o menor inteiro positivo tal que
Então
Como a ordem de
é
, segue que
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo), obtemos
Portanto
é um múltiplo de
, mas já vimos que
também divide
. A única possibilidade é
Resposta
A ordem de
módulo
é
.