Seja c um inteiro ímpar. Se c é um divisor de a+b e de a-b, mostre que c também é um divisor de d = m d c(a, b).

Passo 1

O enunciado diz que c é um inteiro ímpar tal que
cmid (a+b) e cmid (a-b).
O que queremos mostrar é que então
cmid donde d = mdc(a,b)
O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum (mdc).

Passo 2

Como cmid (a+b) e cmid (a-b), segue que c divide qualquer combinação linear inteira desses dois. Em particular:
(a+b)+(a-b)=2a Longrightarrow cmid 2a,
e
(a+b)-(a-b)=2b Longrightarrow cmid 2b

Passo 3

Agora usamos que c é ímpar, logo
gcd(c,2)=1
Uma propriedade fundamental de divisibilidade diz que se gcd(c,k)=1 e cmid(kX), então cmid X.
Aplicando com k=2 e X=a, de cmid 2a segue
cmid a

Passo 4

De modo análogo, aplicando com k=2 e X=b a partir de cmid 2b obtemos
cmid b

Passo 5

Pelo teorema do máximo divisor comum, qualquer divisor comum a a e b divide mdc(a,b). Como acabamos de mostrar que c divide tanto a quanto b, concluímos
cmid mdc(a,b),
ou seja,
cmid d

Resposta

cmid d (isto é, c divide mdc(a,b)).

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