Seja c um inteiro ímpar. Se c é um divisor de
de
, mostre que c também é um divisor de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um inteiro ímpar tal que
e
.
O que queremos mostrar é que então
O que queremos mostrar é que então
O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum (mdc).
Passo 2
Como
e
, segue que
divide qualquer combinação linear inteira desses dois. Em particular:
e
Passo 3
Agora usamos que
é ímpar, logo
Uma propriedade fundamental de divisibilidade diz que se
e
, então
.
Aplicando com e
, de
segue
Aplicando com
Passo 4
De modo análogo, aplicando com
e
a partir de
obtemos
Passo 5
Pelo teorema do máximo divisor comum, qualquer divisor comum a
e
divide
. Como acabamos de mostrar que
divide tanto
quanto
, concluímos
ou seja,