Prove que:
b) 64 mid(3^2 n+2-8 n-9), forall n >= 0

Passo 1

Vamos provar por manipulação algébrica e o Teorema do Binômio que, para todo n>=0,
64midl(3^2n+2-8n-9r)
O conteúdo principal aqui é divisibilidade em inteiros e aplicação da expansão binomial para potências de (1+8).

Passo 2

Observe que
3^2n+2 = 9^,n+1 = (1+8)^,n+1
Pelo Teorema do Binômio, temos
(1+8)^,n+1 = sumk=0^n+1binomn+1k1^,n+1-k8^k = sumk=0^n+1binomn+1k8^k
Separamos os dois primeiros termos dessa soma:
(1+8)^,n+1 = binomn+108^0 + binomn+118^1 + sumk=2^n+1binomn+1k8^k = 1 + 8(n+1) + sumk=2^n+1binomn+1k8^k

Passo 3

Agora subtraímos 8n+9:
3^2n+2 - (8n+9) = l[1 + 8(n+1) + sumk=2^n+1binomn+1k8^kr] - (8n+9)
Note que
1 + 8(n+1) - (8n+9) = 1 + 8n + 8 - 8n - 9 = 0,
logo sobra apenas a soma dos termos de ordem k>=2:
3^2n+2 - 8n - 9 = sumk=2^n+1binomn+1k8^k

Passo 4

Fatorando 8^2=64 na soma, obtemos
sumk=2^n+1binomn+1k8^k = 8^2 sumk=2^n+1binomn+1k8^,k-2 = 64 cdot l(sumk=2^n+1binomn+1k8^,k-2r)
Isso mostra que 3^2n+2-8n-9 é múltiplo de 64.

Resposta

Fica provado que, para todo n>=0,
64 mid l(3^2n+2 - 8n - 9r)

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