Ache o menor inteiro que fornece restos 1,2,5 e 5 quando dividido, respectivamente, por 2, 3, 6 e 12 (Yih-Hing - séc. VII).

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro x tal que
x equiv 1 pmod2, x equiv 2 pmod3, x equiv 5 pmod6, x equiv 5 pmod12
O conteúdo envolvido é resolução de sistema de congruências, usando ideias do Teorema Chinês do Resto e da relação de divisibilidade entre os módulos.

Passo 2

Observamos que 2mid6 e 6mid12. Sempre que um número satisfaz
x equiv a pmod12,
ele automáticamente satisfaz
x equiv a pmod6 e x equiv a pmod2,
pois dividir por um módulo maior implica dividibilidade pelos menores.

Passo 3

No nosso caso, a congruência
x equiv 5 pmod12
já garante
x equiv 5 pmod6, x equiv 5 pmod2
Além disso, como 5equiv2pmod3, isso também cobre xequiv2pmod3. Logo, todas as quatro condições se reduzem a
x equiv 5 pmod12

Passo 4

A solução geral desse sistema é
x = 5 + 12k, kinZ
O menor inteiro não negativo dessa família é obtido com k=0, ou seja x=5.

Resposta

5

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