Para todo r >= 0, prove que:
sumi=1^2 r+1(-1)^i=-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo r>=0, a soma alternada de sinais
sumi=1^2r+1(-1)^i
vale sempre -1. Aqui usamos propriedades de potências de -1 e uma técnica de agrupamento em pares.

Passo 2

Observamos que, para qualquer inteiro k,
(-1)^2k=1 e (-1)^2k+1=-1
Isto decorre de (-1)^2=1 e, ao multiplicar mais uma vez por -1, obtermos -1.

Passo 3

Vamos agrupar os primeiros 2r termos em r pares da forma
(-1)^2k-1+(-1)^2k para k=1,2,dots,r
Para cada k,
(-1)^2k-1+(-1)^2k =(-1),+,1 =0
Somando todos esses r pares, o resultado parcial é 0.

Passo 4

Falta o termo de índice 2r+1, que vale
(-1)^2r+1=-1
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sumi=1^2r+1(-1)^i =sumi=1^2r(-1)^i+(-1)^2r+1 =0+(-1)=-1

Resposta

-1

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