Ache a ordern dos inteiros 4,7 e 11 :
módulo 25

Passo 1

O enunciado pede a ordem multiplicativa de 4, 7 e 11 no anel Z/25Z; isto é, para cada ain4,7,11 queremos o menor inteiro k>0 tal que
a^k equiv 1 pmod25
Sabemos que gcd(a,25)=1 nesses casos e que, por Euler, a^phi(25)=a^20equiv1pmod25. Logo cada ordem divide 20.

Passo 2

Para a=4 testamos divisores de 20 em ordem crescente:
4^1=4notequiv1, 4^2=16notequiv1, 4^4=(4^2)^2=16^2=256equiv6pmod25,
4^5=4cdot6=24notequiv1, 4^10=(4^5)^2=24^2=576equiv1pmod25
Não houve expoente menor que 10 dando 1, logo a ordem de 4 módulo 25 é 10.

Passo 3

Para a=7 testamos:
7^1=7notequiv1, 7^2=49equiv-1equiv24pmod25, 7^4=(7^2)^2=(-1)^2=1pmod25
Como 7^2neq1 mas 7^4=1, a ordem de 7 módulo 25 é 4.

Passo 4

Para a=11 fazemos:
11^1=11notequiv1, 11^2=121equiv21pmod25, 11^4=(11^2)^2=21^2=441equiv16pmod25,
11^5=11cdot16=176equiv1pmod25
Não houve expoente menor que 5 dando 1, logo a ordem de 11 módulo 25 é 5.

Resposta

ord 25(4)=10
ord 25(7)=4
ord 25(11)=5

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