Use sistemas de restos convenientes para provar que:
Se a é um inteiro,
e
, então
.
Se a é um inteiro,
Passo 1
Resumindo, queremos provar que, se
é inteiro tal que
e
, então
O conteúdo principal é usar análise de restos em módulos que se simplificam (aqui
e
) e depois aplicar o Teorema Chinês dos Restos para chegar ao módulo
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Como
é ímpar, podemos escrever
para algum inteiro
. Então
Note que
é produto de dois inteiros consecutivos, portanto é sempre par, digamos
. Então
o que mostra
Passo 3
Agora mostramos que
. Como
, o resto de
ao dividir por
só pode ser
ou
. Em símbolos,
Elevando ao quadrado em cada caso:
Logo
Passo 4
Temos as duas congruências
Como
, o Teorema Chinês dos Restos garante que existe única classe módulo
satisfazendo ambas, e é precisamente