Use sistemas de restos convenientes para provar que:
Se a é um inteiro, 2 nmid a e 3 nmid a, então a^2 equiv 1(bmod 24).

Passo 1

Resumindo, queremos provar que, se a é inteiro tal que 2nmid a e 3nmid a, então
a^2equiv1pmod24
O conteúdo principal é usar análise de restos em módulos que se simplificam (aqui 8 e 3) e depois aplicar o Teorema Chinês dos Restos para chegar ao módulo 24.

Passo 2

Mostramos primeiro que a^2equiv1pmod8. Como a é ímpar, podemos escrever
a = 2k + 1
para algum inteiro k. Então
a^2 = (2k+1)^2 = 4k(k+1) + 1
Note que k(k+1) é produto de dois inteiros consecutivos, portanto é sempre par, digamos k(k+1)=2m. Então
a^2 = 4cdot2m + 1 = 8m + 1,
o que mostra
a^2equiv1pmod8

Passo 3

Agora mostramos que a^2equiv1pmod3. Como 3nmid a, o resto de a ao dividir por 3 só pode ser 1 ou 2. Em símbolos,
aequiv1pmod3 ou aequiv2pmod3
Elevando ao quadrado em cada caso:
1^2equiv1pmod3, 2^2=4equiv1pmod3
Logo
a^2equiv1pmod3

Passo 4

Temos as duas congruências
a^2equiv1pmod8 e a^2equiv1pmod3
Como gcd(8,3)=1, o Teorema Chinês dos Restos garante que existe única classe módulo 8cdot3=24 satisfazendo ambas, e é precisamente
a^2equiv1pmod24

Resposta

a^2equiv1pmod24

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