Resolva os seguintes sistemas de congruências simultâneas:
3 x equiv 1(bmod 10), 4 x equiv 2(bmod 7)

Passo 1

O enunciado quer x que satisfaça simultaneamente as congruências 3xequiv1pmod10 e 4xequiv2pmod7. Vamos usar inversos modulares para resolver cada uma e depois aplicar o Teorema Chinês do Resto, pois 10 e 7 são coprimos, garantindo solução única módulo 70.

Passo 2

Para 3xequiv1pmod10 precisamos do inverso de 3 em Z10. Observamos que
3cdot7 = 21 equiv 1 pmod10,
logo 3^-1equiv7pmod10. Multiplicando ambos os lados de 3xequiv1 por 7, obtemos
xequiv7cdot1 = 7 pmod10

Passo 3

Para 4xequiv2pmod7 calculamos o inverso de 4 em Z7. Como
4cdot2 = 8 equiv 1 pmod7,
temos 4^-1equiv2pmod7. Multiplicando 4xequiv2 por 2, resulta
xequiv2cdot2 = 4 pmod7

Passo 4

Aplicando o CRT, escrevemos
x = 7 + 10k
e impomos xequiv4pmod7:
7 + 10k equiv 4 pmod7 Longrightarrow 10k equiv 4 - 7 equiv -3 equiv 4 pmod7
Como 10equiv3pmod7, vira
3k equiv 4 pmod7
Multiplicando pelo inverso de 3 em Z7, que é 5, obtemos
kequiv5cdot4 = 20 equiv 6 pmod7
Logo
x = 7 + 10cdot6 = 67,
e o módulo comum é 70, de modo que
xequiv67pmod70

Resposta

xequiv67pmod70

Exercícios de Livros Relacionados