Encontre um par de inteiros x0, y0 para o qual (-102) x0+(-49) y0=1.

Passo 1

O enunciado pede um par de inteiros (x0,y0) tal que
-102,x0;+;-49,y0;=;1
Esse é um problema de combinação linear, que resolvemos usando o algoritmo de Euclides estendido para expressar o gcd(102,49)=1 como combinação de 102 e 49.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides em 102 e 49:
102 = 2cdot49 +4
49 = 12cdot4 +1
4 = 4cdot1 +0
Como o último resto não nulo é 1, temos gcd(102,49)=1.

Passo 3

Agora voltamos para expressar 1 como combinação de 102 e 49. Da segunda linha:
1 = 49 -12cdot4
E da primeira linha:
4 = 102 -2cdot49
Substituindo 4 na expressão de 1:
1 = 49 -12l(102 -2cdot49r) = 49 -12cdot102 +24cdot49 = -12cdot102 +25cdot49
Logo
1 = (-12),102 ;+;25,49

Passo 4

A equação original é
-102 cdot x0 - 49 cdot y0 = 1
equivalente a
102 cdot x0 + 49 cdot y0 = -1
Multiplicando a combinação acima por -1, obtemos
-1 = 12 cdot 102 + (-25) cdot 49,
que equivale a
102 cdot 12 + 49 cdot (-25) = -1 Longrightarrow -102 cdot 12 - 49 cdot (-25) = 1
Portanto, um par de inteiros que satisfaz a equação é
(x0, y0) = (12, -25)

Resposta

(x0,y0) = (12, -25)

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