a) Mostre que o inteiro 2 tem ordern
.
b) Prove que
é múltiplo de
, para todo
.
c) Se
é primo, pode-se concluir que
é múltiplo de n , para todo
? Justifique a resposta.
Sugestäo para a):
.
b) Prove que
c) Se
Passo 1
O enunciado trata de ordem multiplicativa e da função totiente de Euler. Mais precisamente:
– Em (a) queremos mostrar que, no anel
, o elemento
satisfaz
e que nenhum expoente menor faz isso, ou seja, a ordem de
é exatamente
.
– Em (b) vamos usar que, numa grupo cíclico de ordem , a ordem de qualquer elemento divide
.
– Em (c) perguntam se para um primo o mesmo argumento mostra que
é múltiplo de
.
– Em (b) vamos usar que, numa grupo cíclico de ordem
– Em (c) perguntam se para um primo
Passo 2
Mostramos que
e que não há expoente menor. De fato,
logo
. Se existisse
tal que
, então
Mas para
tem-se
, o que impede a divisibilidade não trivial. Logo nenhum
satisfaz
.
Passo 3
Pelas definições, a ordem de
módulo
é o menor
com
. Dos argumentos anteriores segue
.
Passo 4
Sendo
um grupo de ordem
e sabendo que a ordem de
nesse grupo é
, a propriedade de Lagrange diz que
Passo 5
Se
é primo, basta repetir o raciocínio trocando
por
. Temos
e para
segue
, impedindo
. Logo a ordem de
módulo
é
e, pela mesma aplicação de Lagrange,
Resposta
a) A ordem de
em
é
.
b) Logo é múltiplo de
.
c) Sim. Para todo primo vale também
.
b) Logo
c) Sim. Para todo primo