6.1.1 (a) Ache a recíproca de x+i y, trabalhando inteiramente na representação cartesiana.
(b) Repita a parte (a) trabalhando em forma polar, mas expressando o resultado em forma cartesiana.

Passo 1

O enunciado pede a recíproca de z = x + i\,y. Na parte (a) vamos usar aritmética complexa na forma cartesiana, aplicando o conjugado. Na parte (b) vamos usar a forma polar z = r(\cos\theta + i\sin\theta) e depois voltar ao formato cartesiano.

Passo 2

Para (a), multiplicamos numerador e denominador por \overline{z}=x - i\,y. Assim,
\frac{1}{x + i\,y} =\frac{x - i\,y}{(x + i\,y)(x - i\,y)} =\frac{x - i\,y}{x^2 + y^2}.

Passo 3

Separando parte real e imaginária, obtemos
\frac{1}{x + i\,y} =\frac{x}{x^2 + y^2}\;-\;i\,\frac{y}{x^2 + y^2}.

Passo 4

Para (b), escrevemos z em forma polar:
z = r\bigl(\cos\theta + i\,\sin\theta\bigr),
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\frac{1}{z} =\frac{1}{r}\bigl(\cos(-\theta)+i\,\sin(-\theta)\bigr) =\frac{1}{r}\bigl(\cos\theta - i\,\sin\theta\bigr).

Passo 5

Como \cos\theta = \tfrac{x}{r} e \sin\theta = \tfrac{y}{r}, segue
\frac{1}{z} =\frac{1}{r}\Bigl(\frac{x}{r}-i\,\frac{y}{r}\Bigr) =\frac{x}{r^2}-i\,\frac{y}{r^2}.
E, como r^2=x^2+y^2, reconfirmamos o resultado de (a).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{x + i\,y} = \frac{x - i\,y}{x^2 + y^2}.
(b) Usando r=\sqrt{x^2+y^2},
\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{x}{r^2} - i\,\frac{y}{r^2},
que equivale a \frac{x - i\,y}{x^2+y^2}.

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