6.1.1 (a) Ache a recíproca de x+i y, trabalhando inteiramente na representação cartesiana.
(b) Repita a parte (a) trabalhando em forma polar, mas expressando o resultado em forma cartesiana.

Passo 1

O enunciado pede a recíproca de z = x + i,y. Na parte (a) vamos usar aritmética complexa na forma cartesiana, aplicando o conjugado. Na parte (b) vamos usar a forma polar z = r(costheta + isintheta) e depois voltar ao formato cartesiano.

Passo 2

Para (a), multiplicamos numerador e denominador por z=x - i,y. Assim,
1x + i,y =x - i,y(x + i,y)(x - i,y) =x - i,yx^2 + y^2

Passo 3

Separando parte real e imaginária, obtemos
1x + i,y =xx^2 + y^2;-;i,yx^2 + y^2

Passo 4

Para (b), escrevemos z em forma polar:
z = rl(costheta + i,sinthetar),
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1z =1rl(cos(-theta)+i,sin(-theta)r) =1rl(costheta - i,sinthetar)

Passo 5

Como costheta = tfracxr e sintheta = tfracyr, segue
1z =1rl(xr-i,yrr) =xr^2-i,yr^2
E, como r^2=x^2+y^2, reconfirmamos o resultado de (a).

Resposta

(a) 1x + i,y = x - i,yx^2 + y^2
(b) Usando r=raizx^2+y^2,
1z = xr^2 - i,yr^2,
que equivale a x - i,yx^2+y^2.

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