6.1.24 Usando a aritmética complexa disponível em FORTRAN, escreva um programa para calcular a exponencial complexa e^{z} a partir de sua expansão de série (definição). Calcule e^{z} para z= e^{i n \pi / 6}, n=0,1,2, \ldots, 12. Tabule o ângulo de fase (\theta=n \pi / 6), \Re z, \Im z, \Re\left(e^{z}\right), \Im\left(e^{z}\right),\left|e^{z}\right| \mathrm{e} a fase de e^{z}.
\begin{array}{ll} \text { Valor de verificação. } & n=5, \theta=2,61799, \Re(z)=-0,86602 \\\ & \Im z=0,50000, \Re\left(e^{z}\right)=0,36913, \Im\left(e^{z}\right)=0,20166, \\\ & \left|e^{z}\right|=0,42062, \text { fase }\left(e^{z}\right)=0,50000 . \end{array}çã

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial de um número complexo
\displaystyle e^z por sua expansão em série, usando a aritmética complexa do FORTRAN, para
z = e^{i n\pi/6},\quad n=0,1,2,\dots,12,
e tabular para cada n:
  • o ângulo de fase \theta = n\pi/6,
  • \Re(z), \Im(z),
  • \Re(e^z), \Im(e^z),
  • o módulo \lvert e^z\rvert e a fase \arg(e^z).
Vamos usar como teoria principal a definição de exponencial complexa e a forma de Euler.

Passo 2

Primeiro escrevemos
\theta_n = \frac{n\pi}{6},\qquad z_n = e^{i\theta_n} = \cos\theta_n + i\,\sin\theta_n.
Logo
\Re(z_n)=\cos\theta_n e \Im(z_n)=\sin\theta_n.

Passo 3

A exponencial complexa satisfaz
e^{z_n} = e^{\cos\theta_n + i\sin\theta_n} = e^{\cos\theta_n}\,e^{\,i\sin\theta_n} = e^{\cos\theta_n}\bigl[\cos(\sin\theta_n)+i\,\sin(\sin\theta_n)\bigr].
Assim:
\Re(e^{z_n}) = e^{\cos\theta_n}\cos\bigl(\sin\theta_n\bigr),\quad \Im(e^{z_n}) = e^{\cos\theta_n}\sin\bigl(\sin\theta_n\bigr),
\lvert e^{z_n}\rvert = e^{\cos\theta_n},\quad \arg(e^{z_n}) = \sin\theta_n.

Passo 4

Esboço do programa em FORTRAN (pseudocódigo):
program \(tabula_expz\)
  implicit none
  integer :: n
  real(\(8\)) :: theta, \(re_z\), \(im_z\), \(re_w\), \(im_w\), \(mod_w\), \(arg_w\)
  complex(\(8\)) :: z, w
  do n\(=0,12\)
     theta \(=\) n * acos(-\(1\)d\(0\)) / \(6\)d\(0\)
     z \(=\) cmplx(cos(theta), sin(theta))
     w \(=\) exp(z)
     \(re_w =\) real(w)
     \(im_w =\) aimag(w)
     \(mod_w =\) abs(w)
     \(arg_w =\) atan\(2\)(\(im_w\),\(re_w\))
     print *, n, theta, real(z), aimag(z), \(re_w\), \(im_w\), \(mod_w\), \(arg_w\)
  end do
end program
O FORTRAN usa internamente série para exp(z).

Passo 5

Aplicando as fórmulas dos passos 2 e 3 e calculando numericamente ( 5 casas decimais), obtemos:
n \theta \Re(z) \Im(z) \Re(e^z) \Im(e^z) \lvert e^z\rvert \arg(e^z)
0 0,00000 1,00000 0,00000 2,71828 0,00000 2,71828 0,00000
1 0,52360 0,86603 0,50000 2,08846 1,14028 2,37744 0,50000
2 1,04720 0,50000 0,86603 1,06804 1,25643 1,64872 0,86603
3 1,57080 0,00000 1,00000 0,54030 0,84147 1,00000 1,00000
4 2,09440 -0,50000 0,86603 0,39306 0,46246 0,60653 0,86603
5 2,61799 -0,86603 0,50000 0,36913 0,20166 0,42062 0,50000
6 3,14159 -1,00000 0,00000 0,36788 0,00000 0,36788 0,00000
7 3,66519 -0,86603 -0,50000 0,36913 -0,20166 0,42062 -0,50000
8 4,18879 -0,50000 -0,86603 0,39306 -0,46246 0,60653 -0,86603
9 4,71239 0,00000 -1,00000 0,54030 -0,84147 1,00000 -1,00000
10 5,23599 0,50000 -0,86603 1,06804 -1,25643 1,64872 -0,86603
11 5,75959 0,86603 -0,50000 2,08846 -1,14028 2,37744 -0,50000
12 6,28319 1,00000 0,00000 2,71828 0,00000 2,71828 0,00000

Resposta

A tabela acima contém para cada n=0,\dots,12:
  • \theta=n\pi/6,
  • \Re(z)=\cos\theta, \Im(z)=\sin\theta,
  • \Re(e^z), \Im(e^z),
  • \lvert e^z\rvert e \arg(e^z).
    O valor para n=5 coincide com o de verificação:
    \theta=2,61799,\Re(z)=-0,86602,\Im(z)=0,50000,\Re(e^z)=0,36913,\Im(e^z)=0,20166,\lvert e^z\rvert=0,42062,\arg(e^z)=0,50000.

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