6.1.24 Usando a aritmética complexa disponível em FORTRAN, escreva um programa para calcular a exponencial complexa
a partir de sua expansão de série (definição). Calcule
para
. Tabule o ângulo de fase
a fase de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a exponencial de um número complexo
por sua expansão em série, usando a aritmética complexa do FORTRAN, para
e tabular para cada
:
- o ângulo de fase
, -
, , -
, , - o módulo
e a fase .
Vamos usar como teoria principal a definição de exponencial complexa e a forma de Euler.
Passo 2
Primeiro escrevemos
Logo
e
.
Passo 3
A exponencial complexa satisfaz
Assim:
Passo 4
Esboço do programa em FORTRAN (pseudocódigo):
program \(tabula_expz\)
implicit none
integer :: n
real(\(8\)) :: theta, \(re_z\), \(im_z\), \(re_w\), \(im_w\), \(mod_w\), \(arg_w\)
complex(\(8\)) :: z, w
do n\(=0,12\)
theta \(=\) n * acos(-\(1\)d\(0\)) / \(6\)d\(0\)
z \(=\) cmplx(cos(theta), sin(theta))
w \(=\) exp(z)
\(re_w =\) real(w)
\(im_w =\) aimag(w)
\(mod_w =\) abs(w)
\(arg_w =\) atan\(2\)(\(im_w\),\(re_w\))
print *, n, theta, real(z), aimag(z), \(re_w\), \(im_w\), \(mod_w\), \(arg_w\)
end do
end program
O FORTRAN usa internamente série para
exp(z)
.Passo 5
Aplicando as fórmulas dos passos
e
e calculando numericamente (
casas decimais), obtemos:
|
|
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Resposta
A tabela acima contém para cada
:
-
, -
, , -
, , -
e .
O valor paracoincide com o de verificação:
.