6.1.2 As quantidades complexas a=u+i v e b=x+i y também podem ser representadas como vetores bidimensionais a=x u+y v, b=x x+y y. Mostre que
a^* b=a cdot b+i z cdot a times b

Passo 1

O enunciado nos dá dois números complexos
a = u + i,v e b = x + i,y
que também podem ser vistos como vetores em R^2:
a = x,u + y,v, b = x,x + y,y
Precisamos usar a definição de conjugado e multiplicação de complexos, além das fórmulas de produto escalar e vetorial em R^3.

Passo 2

Primeiro escrevemos o conjugado de a e calculamos o produto:
a^* = u - i,v, b = x + i,y
a^*,b = (u - i,v),(x + i,y) = u,x + u,(i,y) - i,v,x - i,v,(i,y)
Como i^2 = -1, o último termo vira -i^2,v,y = +,v,y. Logo
a^*,b = u,x + v,y ;+; i,(u,y - v,x)

Passo 3

Agora lembramos as definições vetoriais em R^3, com a=(u,v,0) e b=(x,y,0):
acdotb = u,x + v,y,
atimesb = (0,0,,u,y - v,x), zcdot(atimesb) = u,y - v,x

Passo 4

Comparando as partes real e imaginária de a^* b com as expressões vetoriais, vemos que
Re(a^* b) = u,x + v,y = acdotb, Im(a^* b) = u,y - v,x = zcdot(atimesb)
Portanto
a^* b = acdotb ;+; i,zcdot(atimesb)

Resposta

a^* b = acdotb + i,zcdot(atimesb)

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