6.1.2 As quantidades complexas a=u+i v e b=x+i y também podem ser representadas como vetores bidimensionais \mathbf{a}=\hat{\mathbf{x}} u+\hat{\mathbf{y}} v, \mathbf{b}=\hat{\mathbf{x}} x+\hat{\mathbf{y}} y. Mostre que
a^{*} b=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+i \hat{\mathbf{z}} \cdot \mathbf{a} \times \mathbf{b} .

Passo 1

O enunciado nos dá dois números complexos
\displaystyle a = u + i\,v e \displaystyle b = x + i\,y
que também podem ser vistos como vetores em \mathbb{R}^2:
\mathbf{a} = \hat{\mathbf{x}}\,u + \hat{\mathbf{y}}\,v, \quad \mathbf{b} = \hat{\mathbf{x}}\,x + \hat{\mathbf{y}}\,y.
Precisamos usar a definição de conjugado e multiplicação de complexos, além das fórmulas de produto escalar e vetorial em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Primeiro escrevemos o conjugado de a e calculamos o produto:
a^* = u - i\,v, \quad b = x + i\,y
a^*\,b = (u - i\,v)\,(x + i\,y) = u\,x + u\,(i\,y) - i\,v\,x - i\,v\,(i\,y).
Como i^2 = -1, o último termo vira -i^2\,v\,y = +\,v\,y. Logo
a^*\,b = u\,x + v\,y \;+\; i\,(u\,y - v\,x).

Passo 3

Agora lembramos as definições vetoriais em \mathbb{R}^3, com \mathbf{a}=(u,v,0) e \mathbf{b}=(x,y,0):
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = u\,x + v\,y,
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (0,0,\,u\,y - v\,x), \quad \hat{\mathbf{z}}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = u\,y - v\,x.

Passo 4

Comparando as partes real e imaginária de a^* b com as expressões vetoriais, vemos que
\Re(a^* b) = u\,x + v\,y = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}, \quad \Im(a^* b) = u\,y - v\,x = \hat{\mathbf{z}}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).
Portanto
a^{*} b = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} \;+\; i\,\hat{\mathbf{z}}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).

Resposta

a^{*} b = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + i\,\hat{\mathbf{z}}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).

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