Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e-verifique se a soma é a função dada.
Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
*§
Passo 1
O enunciado nos pede a série de Maclaurin de , ou seja, a expansão em torno de até os três primeiros termos não nulos. Como há asterisco, também precisamos determinar o raio de convergência e verificar que a soma dessa série efetivamente retorna . Para isso usaremos o Teorema de Taylor/Maclaurin (cálculo de derivadas em zero) e o teste da razão.
Passo 2
Definimos . Suas derivadas são
Avaliando em temos
Logo só aparecem termos não nulos para derivadas de ordem par.
Passo 3
A fórmula de Maclaurin é
Como só os contribuem, os três primeiros termos não nulos são
Passo 4
Para achar o raio de convergência, note o termo geral
an= x^2k(2k)!,&n=2k, 0,&n ímpar í
Aplicando o teste da razão nas parcelas não nulas: