Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e-verifique se a soma é a função dada.
Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
cosh x

Passo 1

O enunciado nos pede a série de Maclaurin de cosh x, ou seja, a expansão em torno de x=0 até os três primeiros termos não nulos. Como há asterisco, também precisamos determinar o raio de convergência e verificar que a soma dessa série efetivamente retorna cosh x. Para isso usaremos o Teorema de Taylor/Maclaurin (cálculo de derivadas em zero) e o teste da razão.

Passo 2

Definimos f(x)=cosh x. Suas derivadas são
f(x)=cosh x, f'(x)=sinh x, f''(x)=cosh x, f^(3)(x)=sinh x, f^(4)(x)=cosh x,dots
Avaliando em x=0 temos
f(0)=cosh0=1, f'(0)=sinh0=0, f''(0)=cosh0=1, f^(3)(0)=sinh0=0, f^(4)(0)=cosh0=1,dots
Logo só aparecem termos não nulos para derivadas de ordem par.

Passo 3

A fórmula de Maclaurin é
cosh x =sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
Como só os n=0,2,4,dots contribuem, os três primeiros termos não nulos são
cosh x = underbracef(0)0!x^01 + underbracef''(0)2!x^2x^22! + underbracef^(4)(0)4!x^4x^44! +cdots =1 + x^22! + x^44! + cdots

Passo 4

Para achar o raio de convergência, note o termo geral
an= x^2k(2k)!,&n=2k, 0,&n ímpar í
Aplicando o teste da razão nas parcelas não nulas:
limktoinfty|x^2(k+1)/(2(k+1))!x^2k/(2k)!| =limktoinftyx^2(2k+1)(2k+2)=0<1 forall,xinR
Logo o raio de convergência é R=infty.

Passo 5

Para verificar que a soma da série é realmente cosh x, lembramos da definição
cosh x=e^x+e^-x2
e das séries de e^x e e^-x. Somando-as e dividindo por 2 obtém-se exatamente
sumk=0^inftyx^2k(2k)!,
confirmando que a série converge para cosh x em todo R.

Resposta

A série de Maclaurin de cosh x até os três primeiros termos não nulos é
cosh x = 1 + x^22! + x^44! + cdots
O raio de convergência é R=infty e a soma da série é de fato cosh x.

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