Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
(1+x^2)^-2 / 3

Passo 1

O enunciado quer os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
f(x)=(1+x^2)^-tfrac23,
além de determinar o intervalo de convergência e verificar se a série representa de fato f(x). O conteúdo envolve a aplicação da fórmula da expansão binomial para expoente não inteiro.

Passo 2

A expansão binomial geral para (1+u)^alpha com alphainR é
(1+u)^alpha=sumn=0^inftybinomalphanu^n,
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 3

Aqui tomamos alpha=-tfrac23 e u=x^2. O termo geral é
an=binom-tfrac23nx^2n
Calculamos para n=0,1,2:
  • n=0: a0=1.
  • n=1: a1=binom-tfrac231x^2 =l(-tfrac23r)x^2 =-tfrac23x^2
  • n=2: a2=binom-tfrac232x^4 =l(-tfrac23r)l(-tfrac53r)2!x^4 =10/92x^4 =tfrac59x^4

Passo 4

Logo, os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin são
1 ;-;tfrac23x^2;+;tfrac59x^4;+;cdots

Passo 5

Para o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão aos termos em u=x^2:
limntoinfty |an+1an| =limntoinftyl|x^2r| =|x|^2<1 Longrightarrow |x|<1
Além disso, a expansão binomial para expoente real converge para (1+u)^alpha sempre que |u|<1. Aqui u=x^2, logo a soma da série é exatamente f(x) em |x|<1.

Resposta

Os três primeiros termos não nulos são
1 ;-;tfrac23x^2;+;tfrac59x^4
Intervalo de convergência: |x|<1.
Dentro desse intervalo, a soma da série coincide com (1+x^2)^-tfrac23.

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