Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
O enunciado quer os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
além de determinar o intervalo de convergência e verificar se a série representa de fato . O conteúdo envolve a aplicação da fórmula da expansão binomial para expoente não inteiro.
Passo 2
A expansão binomial geral para com é
onde
Passo 3
Aqui tomamos e . O termo geral é
Calculamos para :
: .
:
:
Passo 4
Logo, os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin são
Passo 5
Para o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão aos termos em :
Além disso, a expansão binomial para expoente real converge para (1+u)^alpha sempre que |u|<1. Aqui u=x^2, logo a soma da série é exatamente f(x) em |x|<1.
Resposta
Os três primeiros termos não nulos são
1 ;-;tfrac23x^2;+;tfrac59x^4
Intervalo de convergência: |x|<1.
Dentro desse intervalo, a soma da série coincide com (1+x^2)^-tfrac23.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 8.8.21 - Ex. 2.h