Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
1 / x em x=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=1/x em torno de x=2. Para isso, vamos recorrer à expansão geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n,
válida para lvert urvert<1.

Passo 2

Escrevemos
1x=12+(x-2)=12,11+l(x-22r)
Aqui temos u=(x-2)/2, então podemos aplicar diretamente a série geométrica.

Passo 3

Aplicando
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
com u=x-22 e multiplicando por 1/2, obtemos
1x =12sumn=0^infty(-1)^nl(x-22r)^n =sumn=0^infty(-1)^n(x-2)^n2^,n+1

Resposta

1x=sumn=0^infty(-1)^n(x-2)^n2^,n+1

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