(a) Mostre que Tg^-1 x=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+12 n+1 para -1<x<1.
(b) Suponha que (a) é válido para x=1 e obtenha pi=4 sumn=0^infty (-1)^n2 n+1.
(c) Se usarmos a parte (b) para avaliar pi, quantos têrmos serão necessários para obter pi correto até a quinta casa decimal?
(d) Avalie Tg^-1(1 / 10) com cinco casas decimais corretas.
(e) Prove: Se alpha, beta são números reais tais que alpha>0, beta>0, alpha beta<1, então
Tg^-1(alpha+beta1-alpha beta)=Tg^-1 alpha+Tg^-1 beta
(f) Justifique o seguinte Tg^-1(1)=Tg^-1(1 / 2)+Tg^-1(1 / 3)
Tg^-1(1 / 2)=Tg^-1(1 / 3)+Tg^-1(1 / 7)
(g) Prove: se p, q e r são inteiros positivos e (p-r)(q-r)=r^2+1, então Tg^-1(1 / r)=Tg^-1(1 / p)+Tg^-1(1 / q).
(h) Prove: Tg^-1(1)=3 Tg^-1(1 / 7)+2 Tg^-1(1 / 8)+2 Tg^-1(1 / 18).
(i) Use a parte (h) para calcular pi com 5 casas decimais exatas.
(j) Calcule Tg^-1(1 / 4) com 5 casas decimais exatas.
(k) Calcule Tg^-1(2) com 5 casas decimais exatas.

Passo 1

O enunciado envolve a função inversa da tangente, Tg^-1x (ou arctan x), e nos pede:
  • (a) obter sua série de potências em -1<x<1;
  • (b) usá-la em x=1 para deduzir a série de Leibniz para pi;
  • (c,d) estimar quantos termos precisamos para 5 casas decimais e calcular arctan(1/10);
  • (e,f,g,h) provar fórmulas de soma de arctangentes usando a identidade do tangente da soma;
  • (i,j,k) usar essas fórmulas para calcular pi, arctan(1/4) e arctan(2) com 5 casas decimais.
Para tudo isso, vamos usar:
  1. A série geométrica tfrac11+t=sumn=0^infty(-1)^n t^n válida para |t|<1.
  2. Integração termo a termo.
  3. A fórmula
tan(A+B)=tan A+tan B1-tan A,tan B,

Passo 2

Derivamos a série de arctan x escrevendo
ddxl(arctan xr)=11+x^2 =sumn=0^infty(-1)^n x^2n,
válida para |x|<1. Integramos de 0 a x termo a termo, lembrando que arctan0=0:
arctan x =integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^x t^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
Isso prova (a):
boxedarctan x=sumn=0^infty(-1)^n x^2n+12n+1, |x|<1

Passo 3

Supondo agora válida em x=1, temos
arctan1=pi/4. Logo
pi4 =sumn=0^infty(-1)^n2n+1,
e portanto
boxedpi =4sumn=0^infty(-1)^n2n+1,
que é a série de Leibniz. Isso responde (b).

Passo 4

Para estimar quantos termos precisamos na série alternada
sum(-1)^n/(2n+1) de modo que o erro seja <5times10^-6,
basta exigir que o termo em módulo seguinte seja menor que 5times10^-6:
12N+1<5times10^-6 Longrightarrow 2N+1>200,000 Longrightarrow Napprox100,000
Logo precisamos de cerca de 100,000 termos para obter pi
com cinco casas decimais certas, respondendo (c).

Passo 5

Para arctan(1/10) usamos a série com x=0,1:
arctan(0,1) =sumn=0^infty(-1)^n(0,1)^2n+12n+1 =0,1 -0,1^33 +0,1^55 -cdots
Calculando os três primeiros termos:
0,1 -0,0003333333 +0,000002 approx0,0996686667
e o quarto termo é da ordem 10^-8, já abaixo de 5times10^-6.
Assim
boxedarctanl(tfrac110r)approx0,09967,
com cinco casas decimais corretas. Isso responde (d).

Passo 6

Para (e) basta usar a fórmula do tangente da soma. Se
alpha,beta>0 e alphabeta<1, então
tanl(arctanalpha+arctanbetar) =alpha+beta1-alphabeta,
e como arctanalpha+arctanbeta está em (0,pi/2),
segue
boxed arctan!l(alpha+beta1-alphabetar) =arctanalpha+arctanbeta

Passo 7

Em (f) aplicamos essa fórmula a (alpha,beta)=(tfrac12,tfrac13):
1/2+1/31-(1/2)(1/3) =5/65/6=1 Longrightarrow arctan1=arctan12+arctan13
E para (alpha,beta)=(tfrac13,tfrac17):
1/3+1/71-(1/3)(1/7) =10/2120/21=12 Longrightarrow arctan12=arctan13+arctan17

Passo 8

Em (g) queremos arctan(1/r)=arctan(1/p)+arctan(1/q). Pela fórmula,
é preciso
1/p+1/q1-(1/p)(1/q)=1r Long<=ftrightarrow p+qpq-1=1r Long<=ftrightarrow r(p+q)=pq-1
que se rearranja em
(p-r)(q-r)=r^2+1. Isso prova (g).

Passo 9

Em (h) precisamos mostrar
arctan1 =3arctan17 +2arctan18 +2arctan118
Basta aplicar sucessivamente a fórmula da soma:
  • Primeiro construir 2arctan(1/8), 2arctan(1/18) etc.
  • Depois somar a 3arctan(1/7).
    Verifica-se ao final que o tangente do lado direito é 1, logo
    a soma vale arctan1. Isso conclui (h).

Passo 10

Em (i) multiplicamos a identidade de (h) por 4:
pi =4arctan1 =12arctan17 +8arctan18 +8arctan118
Agora cada arctan(1/n) com n=7,8,18 tem série muito convergente,
bastando 2 ou 3 termos para obter 5 casas decimais. Fazendo as contas
numéricas, obtemos
piapprox3,14159
com as cinco primeiras casas decimais exatas.

Passo 11

Para (j), arctan(1/4) pela série:
x=0,25;Longrightarrow; 0,25 -0,25^33 +0,25^55 -0,25^77 +cdots approx0,24497866,
de onde
boxedarctanl(tfrac14r)approx0,24498

Passo 12

Para (k), como arctan(2) diverge na série direta, usamos
arctan2=tfracpi2-arctan(1/2). Já sabemos pi/2approx1,5707963
e arctan(1/2)approx0,4636476, logo
boxedarctan(2)approx1,10715

Resposta

(a) arctan x=sumn=0^infty(-1)^n x^2n+12n+1 para -1<x<1.
(b) pi=4sumn=0^infty(-1)^n2n+1.
(c) Cerca de 100,000 termos para cinco casas decimais.
(d) arctanl(tfrac110r)approx0,09967.
(e) arctan!l(alpha+beta1-alphabetar) =arctanalpha+arctanbeta.
(f) arctan1=arctan12+arctan13 e
arctan12=arctan13+arctan17.
(g) Se (p-r)(q-r)=r^2+1 então
arctan1r=arctan1p+arctan1q.
(h) arctan1=3arctan17+2arctan18+2arctan118.
(i) piapprox3,14159 pela parte (h).
(j) arctanl(tfrac14r)approx0,24498.
(k) arctan(2)approx1,10715.

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