(a) Mostre que
para
.
(b) Suponha que (a) é válido para
e obtenha
.
(c) Se usarmos a parte (b) para avaliar
, quantos têrmos serão necessários para obter
correto até a quinta casa decimal?
(d) Avalie
com cinco casas decimais corretas.
(e) Prove: Se
são números reais tais que
, então
(f) Justifique o seguinte
(g) Prove: se
e
são inteiros positivos e
, então
.
(h) Prove:
.
(i) Use a parte (h) para calcular
com 5 casas decimais exatas.
(j) Calcule
com 5 casas decimais exatas.
(k) Calcule
com 5 casas decimais exatas.
(b) Suponha que (a) é válido para
(c) Se usarmos a parte (b) para avaliar
(d) Avalie
(e) Prove: Se
(h) Prove:
(i) Use a parte (h) para calcular
(j) Calcule
(k) Calcule
Passo 1
O enunciado envolve a função inversa da tangente,
(ou
), e nos pede:
- (a) obter sua série de potências em
; - (b) usá-la em
para deduzir a série de Leibniz para ; - (c,d) estimar quantos termos precisamos para 5 casas decimais e calcular
; - (e,f,g,h) provar fórmulas de soma de arctangentes usando a identidade do tangente da soma;
- (i,j,k) usar essas fórmulas para calcular
, e com 5 casas decimais.
Para tudo isso, vamos usar:
- A série geométrica
válida para . - Integração termo a termo.
- A fórmula
Passo 2
Derivamos a série de
escrevendo
válida para
. Integramos de
a
termo a termo, lembrando que
:
Isso prova (a):
Passo 3
Supondo agora válida em
, temos
. Logo
e portanto
que é a série de Leibniz. Isso responde (b).
Passo 4
Para estimar quantos termos precisamos na série alternada
de modo que o erro seja
,
basta exigir que o termo em módulo seguinte seja menor que :
basta exigir que o termo em módulo seguinte seja menor que
Logo precisamos de cerca de
termos para obter
com cinco casas decimais certas, respondendo (c).
com cinco casas decimais certas, respondendo (c).
Passo 5
Para
usamos a série com
:
Calculando os três primeiros termos:
e o quarto termo é da ordem
, já abaixo de
.
Assim
Assim
com cinco casas decimais corretas. Isso responde (d).
Passo 6
Para (e) basta usar a fórmula do tangente da soma. Se
e
, então
e como
está em
,
segue
segue
Passo 7
Em (f) aplicamos essa fórmula a
:
E para
:
Passo 8
Em (g) queremos
. Pela fórmula,
é preciso
é preciso
que se rearranja em
. Isso prova (g).
Passo 9
Em (h) precisamos mostrar
Basta aplicar sucessivamente a fórmula da soma:
- Primeiro construir
, etc. - Depois somar a
.
Verifica-se ao final que o tangente do lado direito é, logo
a soma vale. Isso conclui (h).
Passo 10
Em (i) multiplicamos a identidade de (h) por
:
Agora cada
com
tem série muito convergente,
bastando 2 ou 3 termos para obter 5 casas decimais. Fazendo as contas
numéricas, obtemos
bastando 2 ou 3 termos para obter 5 casas decimais. Fazendo as contas
numéricas, obtemos
com as cinco primeiras casas decimais exatas.
Passo 11
Para (j),
pela série:
de onde
Passo 12
Para (k), como
diverge na série direta, usamos
. Já sabemos
e , logo
e
Resposta
(a)
para
.
(b) .
(c) Cerca de termos para cinco casas decimais.
(d) .
(e) .
(f) e
.
(g) Se então
.
(h) .
(i) pela parte (h).
(j) .
(k) .
(b)
(c) Cerca de
(d)
(e)
(f)
(g) Se
(h)
(i)
(j)
(k)