Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução:
|x-1|+|x+2| >= |x-2|2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|x-1| ;+; |x+2| ;>=; |x-2|2
e representar no eixo real o conjunto solução. O conteúdo aqui é inequações com valor absoluto, e o método é fazer a análise em trechos divididos pelos zeros das expressões internas: x=-2, x=1 e x=2.

Passo 2

Consideramos quatro regiões em função do sinal de x-1,;x+2 e x-2.
Região I: x< -2.
Então
|x-1|=1-x, |x+2|=-x-2, |x-2|=2-x,
e a inequação vira
(1-x)+(-x-2);>=;2-x2 ;Longrightarrow;-2x-1;>=;2-x2
Multiplicando por 2:
-4x-2 ;>=;2-x ;Longrightarrow;-3x>=4 ;Longrightarrow;x<= -tfrac43
Como estamos em x< -2, todo x< -2 já satisfaz x<= -tfrac43. Logo toda a região (-infty,-2) resolve.

Passo 3

Região II: -2<= x<1.
Aqui
|x-1|=1-x, |x+2|=x+2, |x-2|=2-x,
então
(1-x)+(x+2);>=;2-x2 ;Longrightarrow;3;>=;2-x2
Multiplicando por 2:
6>=2-x ;Longrightarrow;x>=-4
Como -2<= x<1 implica x>=-2>-4, toda [-2,1) satisfaz a inequação.

Passo 4

Região III: 1<= x<2.
Aqui
|x-1|=x-1, |x+2|=x+2, |x-2|=2-x,
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(x-1)+(x+2);>=;2-x2 ;Longrightarrow;2x+1;>=;2-x2
Multiplicando por 2:
4x+2>=2-x ;Longrightarrow;5x>=0 ;Longrightarrow;x>=0
E como x>=1 neste trecho, toda [1,2) satisfaz.

Passo 5

Região IV: x>=2.
Agora
|x-1|=x-1, |x+2|=x+2, |x-2|=x-2,
e
(x-1)+(x+2);>=;x-22 ;Longrightarrow;2x+1;>=;x-22
Multiplicando por 2:
4x+2>= x-2 ;Longrightarrow;3x>=-4 ;Longrightarrow;x>=-tfrac43
Como aqui x>=2>-tfrac43, toda [2,infty) satisfaz.

Passo 6

Unindo as quatro regiões vemos que a inequação vale em
(-infty,-2),cup,[ -2,1),cup,[1,2),cup,[2,infty);=;R

Passo 7

No eixo real, o conjunto solução é toda a reta: sombrear todos os pontos.

Resposta

R (toda a reta real)

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