Uma empresa pode vender um produto por 720 dólares a unidade. Se x^2+360 x+1000 é a lei para produzir x unidades por mês, determine quando a empresa tem perdas para produzir tal produto.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a empresa vende cada unidade por $720 e o custo de produzir x unidades por mês é dado por
C(x)=x^2+360x+1000
O conteúdo aqui é lucro e desigualdade quadrática: vamos calcular o lucro P(x) e encontrar para quais valores de x temos P(x)<0, ou seja, perdas.

Passo 2

A receita obtida ao vender x unidades é
R(x)=720x
O lucro é a diferença entre receita e custo:
P(x)=R(x)-C(x)=720x - l(x^2+360x+1000r)
Simplificando,
P(x)=-x^2+360x-1000

Passo 3

Para achar onde ocorrem perdas, montamos a desigualdade
P(x)<0 Long<=ftrightarrow -x^2+360x-1000<0
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade), obtemos
x^2-360x+1000>0

Passo 4

Primeiro encontramos as raízes da equação associada
x^2-360x+1000=0
O discriminante é
De<a = 360^2-4cdot1cdot1000 =129600-4000 =125600
Logo as raízes são
x = 360pmraiz1256002
Aproximando raiz125600approx354,40, temos
x1approx 360-354,402=2,80, x2approx 360+354,402=357,20

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 em P(x) é -1<0, o gráfico de P(x) é uma parábola voltada para baixo. Portanto P(x)>0 para x entre as raízes e P(x)<0 fora desse intervalo.

Passo 6

Concluímos que a empresa tem perdas sempre que
x < 2,80 ou x > 357,20
Considerando x como número de unidades (não negativo), há perdas para 0<= x<2,80 e para x>357,20.

Resposta

A empresa tem perdas para
0<= x<360-raiz1256002approx2,80 ou x>360+raiz1256002approx357,20

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