Esboce as regiões determinadas por:
2 x-3 y <=-1

Passo 1

O enunciado pede esboçar no plano cartesiano a região que satisfaz a desigualdade
2x - 3y <= -1
O conteúdo é semiplano definido por inequação linear. Para resolver, vamos (i) achar a reta de fronteira, (ii) determinar seus interceptos com os eixos e (iii) identificar qual lado da reta deve ser sombreado.

Passo 2

A reta de fronteira é obtida trocando “ <=” por “ =” na inequação:
2x - 3y = -1
Isolindo y, temos
-3y = -1 - 2x Longrightarrow y = 23,x + 13

Passo 3

Para esboçar a reta, calculamos os interceptos:
– Quando y=0:
2x = -1 Longrightarrow x = -tfrac12
– Quando x=0:
-3y = -1 Longrightarrow y = tfrac13

Passo 4

Para saber de que lado sombrear, testamos um ponto fácil. Em (0,0) a expressão vale
2cdot0 - 3cdot0 = 0,
e 0 <= -1 é falso. Portanto, o semiplano que satisfaz a desigualdade é o oposto de (0,0). Por exemplo em (0,1):
2cdot0 - 3cdot1 = -3 <= -1
é verdadeiro, então sombreia-se o semiplano acima da reta.

Passo 5

No esboço final, trace a reta contínua passando por l(-tfrac12,0r) e l(0,tfrac13r), e sombreie todo o semiplano acima dela (incluindo a própria reta, pois a desigualdade é “ <=”).

Resposta

A região é o semiplano acima (e sobre) da reta 2x - 3y = -1, que intercepta o eixo x em l(-tfrac12,0r) e o eixo y em l(0,tfrac13r). No esboço, a reta é contínua e o semiplano superior deve estar sombreado.

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