15.10.17 Ache a transformada de Laplace da onda quadrada (período
Resposta: (f(s)=\frac{1}{s} \cdot \frac{1-e^{-a s / 2}}{1-e^{-a s}}].

Passo 1

O enunciado dá a onda quadrada periódica de período
e pede \emph{a transformada de Laplace} de em termos de um único período.

Passo 2

Para uma função f(t) de período T, vale
Lf(s) =11-e^-sTintegral0^Te^-stf(t),dt
No nosso caso temos T=a e f(t)=F(t), então
LF(s) =11-e^-sa integral0^ae^-stF(t),dt =11-e^-sa integral0^a/2e^-stcdot1,dt,
pois F(t)=0 em l(tfrac a2,ar).

Passo 3

Calculemos a integral
integral0^a/2e^-st,dt
Como integral e^-st,dt=-tfrac1s e^-st, temos
integral0^a/2e^-st,dt =l[-tfrac1se^-str]0^a/2 =1sl(1-e^-s,a/2r)

Passo 4

Substituindo esse resultado na fórmula da transformada periódica, obtemos
LF(s) =11-e^-sa cdot1sl(1-e^-s,a/2r) =1s,1-e^-s,a/21-e^-sa

Resposta

f(s)=1s,1-e^-a s/21-e^-a s

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