15.10.19 Mostre que
L^-1(s^2+a^2)^-2=12 a^3 sen a t-12 a^2 t cos a t,

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=1(s^2+a^2)^2
Isso é conteúdo de transformada de Laplace e vamos usar o teorema da convolução.

Passo 2

Primeiro lembramos que
L^-1ltfrac1s^2+a^2r(t) =1asin(a t)
Denotemos g(t)=tfrac1asin(a t).

Passo 3

Pela convolução, como
F(s)=l(tfrac1s^2+a^2r)^2,
temos
f(t)=L^-1F(s)(t) =(g*g)(t) =integral0^tg(tau),g(t-tau),dtau =1a^2integral0^tsin(atau),sinl(a(t-tau)r),dtau

Passo 4

Usamos a identidade
sin x,sin y =tfrac12l[cos(x-y)-cos(x+y)r]
para reescrever o integrando:
sin(atau),sinl(a(t-tau)r) =tfrac12l[cosl(a(2tau-t)r)-cos(a t)r]

Passo 5

Substituindo no integral,
f(t) =12a^2integral0^tl[cosl(a(2tau-t)r)-cos(a t)r]dtau =12a^2l(I1-I2r),
com
I1=integral0^tcosl(a(2tau-t)r)dtau, I2=integral0^tcos(a t),dtau

Passo 6

Para I1 faça u=2tau-t, então du=2,dtau, limites tau=0to u=-t, tau=tto u=t:
I1 =tfrac12integral-t^tcos(a u),du =tfrac12l[tfracsin(a u)ar]-t^t =sin(a t)a
E
I2 =integral0^tcos(a t),dtau =tcos(a t)
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f(t) =12a^2l(sin(a t)a-tcos(a t)r) =12a^3sin(a t)-12a^2,tcos(a t)

Resposta

L^-1l(s^2+a^2)^-2r =12a^3sin(a t)-12a^2,tcos(a t)

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