15.10.3 O movimento de um corpo em queda em um meio resistente pode ser descrito por
m d^2 X(t)d t^2=m g-b d X(t)d t,
quando a força de retardo é proporcional à velocidade. Ache X(t) e d X(t) / d t para as condições iniciais
X(0)=d Xd t|t=0=0

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um corpo sob a ação da gravidade mg e de uma força de resistência proporcional à velocidade, levando à equação diferencial de segunda ordem
md^2X(t)dt^2=m g - bdX(t)dt,
com condições iniciais
X(0)=0, dXdt|t=0=0
O assunto é resolver uma EDO linear de 2º ordem, que reduzimos primeiro a uma EDO de 1ª ordem para a velocidade e depois integramos para obter a posição.

Passo 2

Definimos a velocidade instantânea como
v(t)=dX(t)dt
Substituindo na equação original, obtemos a EDO de primeira ordem
mdvdt + b,v = m g
Esta é linear e não homogênea. A solução geral é soma da solução particular vp (constante) e da solução da homogênea vh.
Para a parte particular, basta anular a derivada, dando
b,vp = m g Longrightarrow vp = m gb
A homogênea satisfaz
dvhdt + bmvh = 0 Longrightarrow vh(t)=C,e^-tfracbmt
Logo
v(t)=m gb + C,e^-tfracbmt
Impondo v(0)=0 temos
0 = m gb + C Longrightarrow C = -m gb
Portanto
v(t)=m gbl(1 - e^-tfracbmtr)

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter X(t), usando X(0)=0:
X(t)=integral0^tv(s),ds =m gbintegral0^tl(1 - e^-tfracbmsr)ds
Calculemos a integral:
integral0^t1,ds = t, integral0^te^-tfracbmsds =l[-mbe^-tfracbmsr]0^t =mbl(1 - e^-tfracbmtr)
Assim
X(t) =m gbl(t - mbl(1 - e^-tfracbmtr)r)
Podemos reescrever de forma equivalente como
X(t) =m gb,t -m^2gb^2l(1 - e^-tfracbmtr)

Resposta

v(t)=dXdt =m gbl(1 - e^-tfracbmtr),
X(t) =m gb,t -m^2gb^2l(1 - e^-tfracbmtr)

Exercícios de Livros Relacionados