15.10.3 O movimento de um corpo em queda em um meio resistente pode ser descrito por
m \frac{d^{2} X(t)}{d t^{2}}=m g-b \frac{d X(t)}{d t},
quando a força de retardo é proporcional à velocidade. Ache X(t) e d X(t) / d t para as condições iniciais
X(0)=\left.\frac{d X}{d t}\right|_{t=0}=0
Passo 1
O enunciado trata do movimento de um corpo sob a ação da gravidade mg e de uma força de resistência proporcional à velocidade, levando à equação diferencial de segunda ordem
m\frac{d^2X(t)}{dt^2}=m g - b\frac{dX(t)}{dt},
com condições iniciais
X(0)=0,\qquad \left.\frac{dX}{dt}\right|_{t=0}=0.
O assunto é resolver uma EDO linear de 2º ordem, que reduzimos primeiro a uma EDO de 1ª ordem para a velocidade e depois integramos para obter a posição.
Passo 2
Definimos a velocidade instantânea como
v(t)=\frac{dX(t)}{dt}.
Substituindo na equação original, obtemos a EDO de primeira ordem
m\frac{dv}{dt} + b\,v = m g.
Esta é linear e não homogênea. A solução geral é soma da solução particular v_p (constante) e da solução da homogênea v_h.
Para a parte particular, basta anular a derivada, dando
b\,v_p = m g \qquad\Longrightarrow\qquad v_p = \frac{m g}{b}.