15.10.3 O movimento de um corpo em queda em um meio resistente pode ser descrito por
m \frac{d^{2} X(t)}{d t^{2}}=m g-b \frac{d X(t)}{d t},
quando a força de retardo é proporcional à velocidade. Ache X(t) e d X(t) / d t para as condições iniciais
X(0)=\left.\frac{d X}{d t}\right|_{t=0}=0

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um corpo sob a ação da gravidade mg e de uma força de resistência proporcional à velocidade, levando à equação diferencial de segunda ordem
m\frac{d^2X(t)}{dt^2}=m g - b\frac{dX(t)}{dt},
com condições iniciais
X(0)=0,\qquad \left.\frac{dX}{dt}\right|_{t=0}=0.
O assunto é resolver uma EDO linear de 2º ordem, que reduzimos primeiro a uma EDO de 1ª ordem para a velocidade e depois integramos para obter a posição.

Passo 2

Definimos a velocidade instantânea como
v(t)=\frac{dX(t)}{dt}.
Substituindo na equação original, obtemos a EDO de primeira ordem
m\frac{dv}{dt} + b\,v = m g.
Esta é linear e não homogênea. A solução geral é soma da solução particular v_p (constante) e da solução da homogênea v_h.
Para a parte particular, basta anular a derivada, dando
b\,v_p = m g \qquad\Longrightarrow\qquad v_p = \frac{m g}{b}.
A homogênea satisfaz
\frac{dv_h}{dt} + \frac{b}{m}v_h = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_h(t)=C\,e^{-\tfrac{b}{m}t}.
Logo
v(t)=\frac{m g}{b} + C\,e^{-\tfrac{b}{m}t}.
Impondo v(0)=0 temos
0 = \frac{m g}{b} + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{m g}{b}.
Portanto
v(t)=\frac{m g}{b}\Bigl(1 - e^{-\tfrac{b}{m}t}\Bigr).

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter X(t), usando X(0)=0:
X(t)=\int_{0}^{t}v(s)\,ds =\frac{m g}{b}\int_{0}^{t}\Bigl(1 - e^{-\tfrac{b}{m}s}\Bigr)ds.
Calculemos a integral:
\int_{0}^{t}1\,ds = t, \quad \int_{0}^{t}e^{-\tfrac{b}{m}s}ds =\Bigl[-\frac{m}{b}e^{-\tfrac{b}{m}s}\Bigr]_{0}^{t} =\frac{m}{b}\Bigl(1 - e^{-\tfrac{b}{m}t}\Bigr).
Assim
X(t) =\frac{m g}{b}\Bigl(t - \frac{m}{b}\bigl(1 - e^{-\tfrac{b}{m}t}\bigr)\Bigr).
Podemos reescrever de forma equivalente como
X(t) =\frac{m g}{b}\,t -\frac{m^{2}g}{b^{2}}\Bigl(1 - e^{-\tfrac{b}{m}t}\Bigr).

Resposta

v(t)=\frac{dX}{dt} =\frac{m g}{b}\Bigl(1 - e^{-\tfrac{b}{m}t}\Bigr),
X(t) =\frac{m g}{b}\,t -\frac{m^{2}g}{b^{2}}\Bigl(1 - e^{-\tfrac{b}{m}t}\Bigr).

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