15.10.3 O movimento de um corpo em queda em um meio resistente pode ser descrito por
quando a força de retardo é proporcional à velocidade. Ache e para as condições iniciais
Passo 1
O enunciado trata do movimento de um corpo sob a ação da gravidade mg e de uma força de resistência proporcional à velocidade, levando à equação diferencial de segunda ordem
md^2X(t)dt^2=m g - bdX(t)dt,
com condições iniciais
X(0)=0, dXdt|t=0=0
O assunto é resolver uma EDO linear de 2º ordem, que reduzimos primeiro a uma EDO de 1ª ordem para a velocidade e depois integramos para obter a posição.
Passo 2
Definimos a velocidade instantânea como
v(t)=dX(t)dt
Substituindo na equação original, obtemos a EDO de primeira ordem
mdvdt + b,v = m g
Esta é linear e não homogênea. A solução geral é soma da solução particular vp (constante) e da solução da homogênea vh.
Para a parte particular, basta anular a derivada, dando