Ache os valores reais de x para os quais vale a desigualdade:
-4x+32 >=-1x.

Passo 1

O enunciado pede resolver a desigualdade racional
-4x+32>= -1x
O conteúdo principal é inequações racionais: identificar o domínio (denominadores não podem ser zero), colocar tudo em uma única fração e analisar o sinal de numerador e denominador.

Passo 2

Identificamos que a inequação envolve divisão por x, logo o domínio é
x neq 0

Passo 3

Transpondo o termo -tfrac1x para o lado esquerdo e somando as frações com x, temos
-4x+32+1x>= 0 Longrightarrow -3x+32>= 0

Passo 4

Multiplicamos toda a inequação por 2 (positivo) para eliminar o denominador 2 e reescrevemos como uma única fração:
- 6x + 3 >= 0 Long<=ftrightarrow 3 - 6x >= 0 Long<=ftrightarrow 3x - 6x >= 0

Passo 5

Analisamos a inequação
3x - 6x >= 0
Os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador:
3x-6=0;Rightarrow;x=2, x=0(não está no domínio) ãáí
Esses valores particionam a reta em três intervalos: (-infty,0), (0,2) e (2,infty).

Passo 6

Estudamos o sinal de 3x-6x em cada intervalo:
No intervalo x<0:
  • Numerador 3x-6<0 (pois x<2).
  • Denominador x<0.
    Logo o quociente é positivo, satisfaz >=0.
No intervalo 0<x<2:
  • Numerador 3x-6<0.
  • Denominador x>0.
    Logo o quociente é negativo, não satisfaz.
Em x=2:
  • Numerador 3cdot2-6=0, o quociente vale 0, satisfaz >=0.
No intervalo x>2:
  • Numerador 3x-6>0.
  • Denominador x>0.
    Logo o quociente é positivo, satisfaz >=0.
Portanto a solução é a união dos intervalos onde a condição vale.

Resposta

(-infty,0),cup,[2,infty)

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