Mostre que
tg z2=senh x+i sen ycosh x+cos y

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para zinC escrito como
z = x + i,y,
vale
tanhz2 ;=;sinh x + i,sin ycosh x + cos y
O conteúdo principal é a definição de tangente hiperbólica de um número complexo
tanh w=dfracsinh wcosh w
e as fórmulas de soma para sinh(a+ib) e cosh(a+ib).

Passo 2

Definimos
w = z2 = x2 + i,y2
Usamos então as identidades
sinh(a+ib)=sinh a,cos b ;+; i,cosh a,sin b,
cosh(a+ib)=cosh a,cos b ;+; i,sinh a,sin b
Logo
sinhz2 =sinh!l(tfracx2+itfracy2r) =sinhx2,cosy2 +i,coshx2,siny2,
coshz2 =coshx2,cosy2 +i,sinhx2,siny2

Passo 3

Formamos a razão
tanhz2 =sinhz2coshz2 =A+iBC+iD,
onde
A=sinhx2cosy2, B=coshx2siny2, C=coshx2cosy2, D=sinhx2siny2
Multiplicando numerador e denominador por C-iD para “limpar” o denominador e usando as identidades de ângulo duplo
sinh x = 2sinhx2,coshx2, sin y = 2siny2,cosy2,
cosh x = 2cosh^2x2-1, cos y = 2cos^2y2-1,
chega-se diretamente a
tanhz2 =sinh x + i,sin ycosh x + cos y

Resposta

tanhz2 = sinh x + i,sin ycosh x + cos y

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