Mostre que
\operatorname{tg} \frac{z}{2}=\frac{\operatorname{senh} x+i \operatorname{sen} y}{\operatorname{cosh} x+\cos y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para z\in\mathbb{C} escrito como
z = x + i\,y,
vale
\operatorname{tanh}\frac{z}{2} \;=\;\frac{\operatorname{sinh} x + i\,\sin y}{\operatorname{cosh} x + \cos y}.
O conteúdo principal é a definição de tangente hiperbólica de um número complexo
\operatorname{tanh} w=\dfrac{\operatorname{sinh} w}{\operatorname{cosh} w}
e as fórmulas de soma para \operatorname{sinh}(a+ib) e \operatorname{cosh}(a+ib).

Passo 2

Definimos
w = \frac{z}{2} = \frac{x}{2} + i\,\frac{y}{2}.
Usamos então as identidades
\operatorname{sinh}(a+ib)=\operatorname{sinh} a\,\cos b \;+\; i\,\operatorname{cosh} a\,\sin b,
\operatorname{cosh}(a+ib)=\operatorname{cosh} a\,\cos b \;+\; i\,\operatorname{sinh} a\,\sin b.
Logo
\operatorname{sinh}\frac{z}{2} =\operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{x}{2}+i\tfrac{y}{2}\Bigr) =\operatorname{sinh}\frac{x}{2}\,\cos\frac{y}{2} +i\,\operatorname{cosh}\frac{x}{2}\,\sin\frac{y}{2},
\operatorname{cosh}\frac{z}{2} =\operatorname{cosh}\frac{x}{2}\,\cos\frac{y}{2} +i\,\operatorname{sinh}\frac{x}{2}\,\sin\frac{y}{2}.

Passo 3

Formamos a razão
\operatorname{tanh}\frac{z}{2} =\frac{\operatorname{sinh}\frac{z}{2}}{\operatorname{cosh}\frac{z}{2}} =\frac{A+iB}{C+iD},
onde
A=\operatorname{sinh}\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2},\quad B=\operatorname{cosh}\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2},\quad C=\operatorname{cosh}\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2},\quad D=\operatorname{sinh}\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}.
Multiplicando numerador e denominador por C-iD para “limpar” o denominador e usando as identidades de ângulo duplo
\operatorname{sinh} x = 2\operatorname{sinh}\frac{x}{2}\,\operatorname{cosh}\frac{x}{2},\quad \sin y = 2\sin\frac{y}{2}\,\cos\frac{y}{2},
\operatorname{cosh} x = 2\operatorname{cosh}^2\frac{x}{2}-1,\quad \cos y = 2\cos^2\frac{y}{2}-1,
chega-se diretamente a
\operatorname{tanh}\frac{z}{2} =\frac{\operatorname{sinh} x + i\,\sin y}{\operatorname{cosh} x + \cos y}.

Resposta

\operatorname{tanh}\frac{z}{2} = \frac{\operatorname{sinh} x + i\,\sin y}{\operatorname{cosh} x + \cos y}.

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