Mostre que
Nota: As quantidades
\binom{n}{m}
são coeficientes binomiais:
\binom{n}{m}=n!/[(n-m)!m!].
\operatorname{sen} n \theta=\binom{n}{1} \cos ^{n-1} \theta \operatorname{sen} \theta-\binom{n}{3} \cos ^{n-3} \theta \operatorname{sen}^{3} \theta+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula de expansão de \sin(n\theta) em potências ímpares de \sin\theta com coeficientes binomiais e sinais alternados:
\sin(n\theta) = \binom{n}{1}\cos^{n-1}\theta\,\sin\theta - \binom{n}{3}\cos^{n-3}\theta\,\sin^{3}\theta +\cdots.
Vamos usar o Teorema de De Moivre e o Teorema do Binômio.

Passo 2

Pelo Teorema de De Moivre temos
\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) =\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr)^{n}.

Passo 3

Aplicando o Teorema do Binômio, expandimos o lado direito:
\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(\cos\theta)^{\,n-k}(i\sin\theta)^{k}.

Passo 4

Reescrevendo (i\sin\theta)^{k}=i^{k}(\sin\theta)^{k} e extraindo a parte imaginária, obtemos
\sin(n\theta) =\Im\Biggl(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}i^{k}(\cos\theta)^{\,n-k}(\sin\theta)^{k}\Biggr).
Somente os termos com k=2j+1 contribuem para a parte imaginária e
i^{2j+1}=(-1)^{j}\,i.

Passo 5

Logo
\sin(n\theta) =\sum_{j=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\binom{n}{2j+1}(-1)^{j}(\cos\theta)^{\,n-(2j+1)}(\sin\theta)^{2j+1},
que é exatamente
\sin(n\theta) =\binom{n}{1}\cos^{\,n-1}\theta\,\sin\theta -\binom{n}{3}\cos^{\,n-3}\theta\,\sin^{3}\theta +\cdots.

Resposta

\sin(n\theta) =\binom{n}{1}\cos^{\,n-1}\theta\,\sin\theta -\binom{n}{3}\cos^{\,n-3}\theta\,\sin^{3}\theta +\cdots.

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