Mostre que
Nota: As quantidades
binomnm
são coeficientes binomiais:
binomnm=n!/[(n-m)!m!].
sen n theta=binomn1 cos ^n-1 theta sen theta-binomn3 cos ^n-3 theta sen^3 theta+cdots

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula de expansão de sin(ntheta) em potências ímpares de sintheta com coeficientes binomiais e sinais alternados:
sin(ntheta) = binomn1cos^n-1theta,sintheta - binomn3cos^n-3theta,sin^3theta +cdots
Vamos usar o Teorema de De Moivre e o Teorema do Binômio.

Passo 2

Pelo Teorema de De Moivre temos
cos(ntheta)+isin(ntheta) =l(costheta+isinthetar)^n

Passo 3

Aplicando o Teorema do Binômio, expandimos o lado direito:
l(costheta+isinthetar)^n = sumk=0^nbinomnk(costheta)^,n-k(isintheta)^k

Passo 4

Reescrevendo (isintheta)^k=i^k(sintheta)^k e extraindo a parte imaginária, obtemos
sin(ntheta) =Imgl(sumk=0^nbinomnki^k(costheta)^,n-k(sintheta)^kgr)
Somente os termos com k=2j+1 contribuem para a parte imaginária e
i^2j+1=(-1)^j,i

Passo 5

Logo
sin(ntheta) =sumj=0^lfloor(n-1)/2rfloorbinomn2j+1(-1)^j(costheta)^,n-(2j+1)(sintheta)^2j+1,
que é exatamente
sin(ntheta) =binomn1cos^,n-1theta,sintheta -binomn3cos^,n-3theta,sin^3theta +cdots

Resposta

sin(ntheta) =binomn1cos^,n-1theta,sintheta -binomn3cos^,n-3theta,sin^3theta +cdots

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