Admitindo a Terra como esférica, determine a altura e a área da calota esférica observada por um astronauta que sobrevoa a Terra, no instante em que ele se encontra na altitude de 9 vezes o raio terrestre. Adote o raio da Terra como unidade de medida.

Passo 1

Resumindo: a Terra é uma esfera de raio R (que adotamos como unidade), e o astronauta está a uma altitude h=9R acima da superfície. Queremos a calota esférica visível, isto é, a região da superfície terrestre que fica “acima” do círculo do horizonte. Vamos usar geometria do triângulo formado pelos pontos centro da Terra O, ponto de tangência T e posição do astronauta P, e em seguida as fórmulas clássicas de altura e área de calota esférica.

Passo 2

Calculemos a distância do centro da Terra ao astronauta:
OP = R + h = R + 9R = 10R

Passo 3

No triângulo OTP vemos que OT=R, OP=10R e PT é tangente à esfera, logo OTP é retângulo em T. Assim o ângulo beta = ang<= TOP satisfaz
cosbeta = OTOP = R10R = 110

Passo 4

A altura H da calota (distância do plano de corte ao ponto mais próximo de P) é
H = Rl(1 - cosbetar) = Rl(1 - 110r) = 910R

Passo 5

A área A de uma calota esférica de raio R e altura H é
A = 2pi,R,H = 2pi,Rcdot910R = 95,pi,R^2
Como R vale uma unidade, A = tfrac95pi.

Resposta

Altura da calota: 910R (ou 0,9 em unidades de raio)
Área da calota: 95,pi,R^2 (ou tfrac95pi em unidades de área)

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