Admitindo a Terra como esférica, determine a altura e a área da calota esférica observada por um astronauta que sobrevoa a Terra, no instante em que ele se encontra na altitude de 9 vezes o raio terrestre. Adote o raio da Terra como unidade de medida.
Passo 1
Resumindo: a Terra é uma esfera de raio
(que adotamos como unidade), e o astronauta está a uma altitude
acima da superfície. Queremos a calota esférica visível, isto é, a região da superfície terrestre que fica “acima” do círculo do horizonte. Vamos usar geometria do triângulo formado pelos pontos centro da Terra
, ponto de tangência
e posição do astronauta
, e em seguida as fórmulas clássicas de altura e área de calota esférica.
Passo 2
Calculemos a distância do centro da Terra ao astronauta:
Passo 3
No triângulo
vemos que
,
e
é tangente à esfera, logo
é retângulo em
. Assim o ângulo
satisfaz
Passo 4
A altura
da calota (distância do plano de corte ao ponto mais próximo de
) é
Passo 5
A área
de uma calota esférica de raio
e altura
é
Como
vale uma unidade,
.
Resposta
Altura da calota:
(ou
em unidades de raio)
Área da calota: (ou
em unidades de área)
Área da calota: