Determine a altura a que deve se elevar um astronauta para ver 136 da superfície da Terra.

Passo 1

O enunciado pede que se ache a altura h acima da superfície da Terra para que o astronauta veja tfrac136 da área total da Terra. Vamos usar o conceito de calota esférica e a geometria do raio tangente à esfera.

Passo 2

A área visível pelo observador forma uma calota esférica de raio da Terra R e semiângulo alpha. A área dessa calota é
Avis = 2pi R^2,(1 - cosalpha)
Como a área total da Terra é 4pi R^2, a fração visível f vale
f = Avis4pi R^2 = 1 - cosalpha2

Passo 3

Pela geometria do triângulo formado pelo centro da Terra, pelo observador e pelo ponto de tangência, a reta de visão é tangente, gerando um ângulo reto. Daí decorre
cosalpha = RR + h

Passo 4

Queremos f = tfrac136. Então,
1 - cosalpha2 = 136 ;Longrightarrow; 1 - cosalpha = 118 ;Longrightarrow; cosalpha = 1718
Substituindo em cosalpha = RR + h, obtemos
RR + h = 1718 ;Longrightarrow; R + h = 1817R ;Longrightarrow; h = R17

Passo 5

Numericamente, tomando R approx 6371,km,
h approx 637117,km approx 374,8,km

Resposta

boxedh = R17 approx 375 km

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