(AFA-2003 Fem) Em um quadrado ABCD de lado k , colocam-se os pontos P e Q sobre os lados BC e CD , respectivamente, de forma que \mathrm{PC}=3 \mathrm{~PB} e \mathrm{QD}=2 \mathrm{QC}. É correto afirmar que a razão entre as áreas dos triângulos PCD e PCQ , nessa ordem, é um número
a) quadrado perfeito.
b) irracional.
c) par.
d) impar.

Passo 1

O enunciado dá um quadrado ABCD de lado k e pede a razão entre as áreas dos triângulos PCD e PCQ, onde P está em BC com \mathrm{PC}=3\,\mathrm{PB} e Q está em CD com \mathrm{QD}=2\,\mathrm{QC}. O conteúdo é cálculo de áreas de triângulos em um quadrado e razão de áreas.

Passo 2

Como BC=k e \mathrm{PC}=3\,\mathrm{PB}, seja \mathrm{PB}=x. Então \mathrm{PC}=3x e
x+3x = k \implies x = \frac{k}{4},\quad \mathrm{PC} = \frac{3k}{4}.

Passo 3

Como CD=k e \mathrm{QD}=2\,\mathrm{QC}, seja \mathrm{QC}=y. Então \mathrm{QD}=2y e
y+2y = k \implies y = \frac{k}{3},\quad \mathrm{QC} = \frac{k}{3}.

Passo 4

Os dois triângulos em questão são retângulos em C, pois BC\perp CD. Assim:
\text{Área}(\triangle PCD) = \tfrac12\cdot \mathrm{PC}\cdot CD = \tfrac12\cdot \frac{3k}{4}\cdot k = \frac{3k^2}{8},Á
\text{Área}(\triangle PCQ) = \tfrac12\cdot \mathrm{PC}\cdot \mathrm{QC} = \tfrac12\cdot \frac{3k}{4}\cdot \frac{k}{3} = \frac{k^2}{8}.Á

Passo 5

A razão entre as áreas é
\frac{\text{Área}(\triangle PCD)}{\text{Área}(\triangle PCQ)} = \frac{\tfrac{3k^2}{8}}{\tfrac{k^2}{8}} = 3.ÁÁ
O número 3 é inteiro e ímpar, mas não é quadrado perfeito nem irracional.

Resposta

d) ímpar.

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