(Colégio Naval-2002/2003) Em um trapézio, cujas bases medem a e b, os pontos \mathbf{M} e \mathbf{N} pertencem aos lados não-paralelos. Se \overline{\mathbf{M N}} divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, então a medida do segmento \overline{\mathbf{M N}} corresponde a.
a) Média aritmética de \mathbf{a} \mathbf{e} \mathbf{b}.
b) Média geométrica das bases.
c) Raiz quadrada da média aritmética de a^{2} e b^{2}.
d) Raiz quadrada da média harmônica de \mathbf{a}^{2} \mathbf{e} \mathbf{b}^{2}.
e) Média harmônica de \mathbf{a} \mathbf{~ e} \mathbf{b}.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio de bases a e b e altura total H. Queremos escolher pontos M e N nos lados não\mbox{-}paralelos de modo que a reta MN, paralela às bases, divida o trapézio em dois trapézios de áreas iguais. O conteúdo principal é usar semelhança de triângulos para expressar o comprimento de MN e depois igualar as áreas para achar esse comprimento.

Passo 2

Seja t a distância de MN até a base de comprimento a. Pela semelhança de triângulos formados pela interpola\mbox{­}lação linear entre as bases, se definirmos
x = \frac{t}{H},
então o comprimento de MN é
MN = a + (b - a)\,x.

Passo 3

A área total do trapézio é
\text{Área}_{\rm total} = \frac{a + b}{2}\,H.Á
Queremos que a área da “parte de cima” (trapézio de bases a e MN e altura t) seja metade disso, ou seja
\frac{a + MN}{2}\;t \;=\;\frac{1}{2}\,\frac{a + b}{2}\,H \;=\;\frac{a + b}{4}\,H.
Substituindo t = xH obtemos
\frac{a + MN}{2}\;xH \;=\;\frac{a + b}{4}\,H \quad\Longrightarrow\quad (a + MN)\,x = \frac{a + b}{2}.

Passo 4

Como MN = a + (b - a)x, tem-se
a + MN = a + \bigl[a + (b - a)x\bigr] = 2a + (b - a)x.
Logo a equação fica
\bigl[2a + (b - a)x\bigr]\,x = \frac{a + b}{2} \quad\Longrightarrow\quad (b - a)x^2 + 2a\,x - \frac{a + b}{2} = 0.
Essa é uma equação quadrática em x. Aplicando a fórmula de Bhaskara para a raiz entre 0 e 1, encontra\mbox{-}se
x = \frac{-2a + \sqrt{2\,(a^2 + b^2)}}{2\,(b - a)}.

Passo 5

Finalmente,
MN = a + (b - a)\,x = a + (b - a)\,\frac{-2a + \sqrt{2(a^2 + b^2)}}{2(b-a)} = \frac{\sqrt{2(a^2 + b^2)}}{2} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}.
Isso mostra que MN é a raiz quadrada da média aritmética de a^2 e b^2.

Resposta

c) Raiz quadrada da média aritmética de a^{2} e b^{2}.

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