(Colégio Naval-2002/2003) Em um trapézio, cujas bases medem a e b, os pontos \mathbf{M} e \mathbf{N} pertencem aos lados não-paralelos. Se \overline{\mathbf{M N}} divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, então a medida do segmento \overline{\mathbf{M N}} corresponde a.
a) Média aritmética de \mathbf{a} \mathbf{e} \mathbf{b}.
b) Média geométrica das bases.
c) Raiz quadrada da média aritmética de a^{2} e b^{2}.
d) Raiz quadrada da média harmônica de \mathbf{a}^{2} \mathbf{e} \mathbf{b}^{2}.
e) Média harmônica de \mathbf{a} \mathbf{~ e} \mathbf{b}.
Passo 1
O enunciado dá um trapézio de bases a e b e altura total H. Queremos escolher pontos M e N nos lados não\mbox{-}paralelos de modo que a reta MN, paralela às bases, divida o trapézio em dois trapézios de áreas iguais. O conteúdo principal é usar semelhança de triângulos para expressar o comprimento de MN e depois igualar as áreas para achar esse comprimento.
Passo 2
Seja t a distância de MN até a base de comprimento a. Pela semelhança de triângulos formados pela interpola\mbox{}lação linear entre as bases, se definirmos
x = \frac{t}{H},
então o comprimento de MN é
MN = a + (b - a)\,x.
Passo 3
A área total do trapézio é
\text{Área}_{\rm total} = \frac{a + b}{2}\,H.Á
Queremos que a área da “parte de cima” (trapézio de bases a e MN e altura t) seja metade disso, ou seja